Презентация на тему: "Презентация по математике на тему "Дифференциал функции""

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Ранее мы рассматривали задачи на использование физического смысла первой и второй производной и задачи на использование геометрического смысла первой производной. Смотрите презентацию «Производная и ее приложение»
Продолжим рассмотрение приложений производной (смотрите блок-схему на 2 слайде). Сегодня мы рассмотрим третье направление приложений производной, задачи, используемые понятие дифференциала функции. Понятие дифференциала функции является основой разнообразных физических задач:
а) на работу;
б) заряд;
в) массу тонкого стержня;
г) теплоту.
С помощью дифференциала можно получить формулы приближенных вычислений, значительно упрощающих вычисления, и дающих небольшую ошибку при оценке результата. Дифференциал применяется при выполнении лабораторных работ по средствам измерений, теоретическим основам электротехники и другим дисциплинам.
Дифференциалы нужны нам при изучении темы «Интеграл и его приложения»

ЗАДАЧИ НА ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКОГО
СМЫСЛА ПЕРВОЙ И
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СМЫСЛА ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА
ИССЛЕДОВАНИЕ
ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НОРМАЛИ И КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Дифференциалом функции называется произведение производной функции на произвольное приращение аргумента. Пусть дана функция 𝑦=𝑓 𝑥 Её дифференциал обозначают через 𝑑𝑦. По определению 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 ∆𝑥. Рассмотрим функцию 𝑦=𝑥. Её производная равна 𝑥 ′ =1. Тогда дифференциал этой функции будет равен 𝑑𝑦=∆𝑥. Поэтому обычно записывают дифференциал функции в виде 𝒅𝒚= 𝒇 ′ 𝒙 𝒅𝒙, 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 это одно из обозначений производной.
Формулы дифференцирования некоторых функций:
𝑑𝑥= 𝑥 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ′ 𝑑𝑥,
𝑑 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 ′ 𝑑𝑥

Геометрический смысл дифференциала.
Рассмотрим дифференцируемую функцию 𝑦=𝑓 𝑥 на интервале 𝑎;𝑏 . Рассмотрим ∆𝐾𝑀𝑁
𝑀𝑁 = 𝐾𝑁 𝑡𝑔𝛼, 𝐾𝑁 =∆𝑥, 𝑡𝑔𝛼= 𝑓 ′ 𝑥 0 , 𝑁𝑀 = 𝑓 ′ 𝑥 0 ∆𝑥 𝑁𝑀 =𝑑𝑦.
Геометрический смысл – если функция имеет производную в точке 𝑥 0 , то дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке ( 𝑥 0 ) при переходе от точки касания в точку с абсциссой 𝑥 0 +∆𝑥. Сравним приращение функции и дифференциал. Чем меньше ∆𝑥, тем ближе 𝑑𝑦 к ∆𝑦. При очень малых значениях ∆𝑥 𝑑𝑦= ∆𝑦.

Правила нахождения дифференциала функции
Дифференциал суммы:
𝑑 𝑢+𝑣−𝑤 𝑑𝑥 = 𝑢 ′ + 𝑣 ′ − 𝑤 ′ 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 𝑑𝑤 𝑑𝑥

2) Дифференциал произведения:
𝑑 𝑢∙𝑣 𝑑𝑥 = 𝑢 ′ 𝑑𝑥∙𝑣+𝑢∙ 𝑣 ′ 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣+ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑢

3) Дифференциал частного:
𝑑 𝑢 𝑣 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∙𝑣−𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 2

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
Найти дифференциалы первого порядка следующих функций:
y= x 3 −2 4 .
Решение: Воспользуемся формулой 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
dy=( x 3 −2 4 ) ′ dx=4 𝑥 3 −2 3 ∙3 𝑥 2 𝑑𝑥=12 𝑥 2 𝑥 3 −2 3 𝑑𝑥
2) 𝑦= 𝑥 2 −1 .
Решение: Воспользуемся формулой 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
𝑑𝑦= 𝑥 2 −1 ′ 𝑑𝑥= 2𝑥 2 𝑥 2 −1 𝑑𝑥= 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 −1
3) 𝑦=𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑥 .
Решение: Воспользуемся формулой 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
𝑑𝑦= 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑥 ′ = 1 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 1 2 𝑥 𝑑𝑥= 𝑐𝑡𝑔 𝑥 2 𝑥

ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть дана функция 𝑦=𝑓 𝑥 ;приращение этой функции ∆𝑦=𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 , её дифференциал 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥. При достаточно малых приращениях аргумента, будем считать, что ∆𝑦≈𝑑𝑥.
Заменив приращение функции её дифференциалом, получим
𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥≈𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 откуда
𝑓 𝑥+∆𝑥 ≈𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 ∆𝑥.
Применяя эту формулу, легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
1) Формула для приближенного вычисления степеней:
𝑥+∆𝑥 𝑛 ≈ 𝑥 𝑛 +𝑛 𝑥 𝑛−1 ∆𝑥
2) Формула для приближенного вычисления корней:
𝑛 𝑥+∆𝑥 ≈ 𝑛 𝑥 + ∆𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛−1
3) Формула для приближенного вычисления обратных величин:
1 𝑥+∆𝑥 ≈ 1 𝑥 − ∆𝑥 𝑥 2
4) Формулы для приближенного вычисления синусов и тангенсов малых углов:
𝑠𝑖𝑛∆𝑥≈∆𝑥; 𝑡𝑔∆𝑥≈∆𝑥

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Найти приближенное значение степени:
4,012 2 ≈ 4+0,012 2 ≈ 4 2 +2∙4∙0,012=16+0,096=16,096.
2) Найти приближенное значение корня:
1,006 ≈ 1+0,006 ≈ 1 + 0,006 2∙ 1 ≈1+0,003≈1,003
3) Найти приближенное значение обратной величины:
1 1,004 ≈ 1 1+0,004 ≈ 1 1 − 0,004 1 2 ≈1−0,004≈0,996
4) Вычислить: 𝑠𝑖𝑛 12 0 =𝑠𝑖𝑛 12𝜋 180 =𝑠𝑖𝑛 𝜋 15 =𝑠𝑖𝑛 3.14 15 =𝑠𝑖𝑛0,2091≈0,2091

ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
Ответить на вопросы:
1. Что можно вычислить с помощью дифференциала?
2. Чем отличается дифференциал функции от её производной?
3. Выполняются ли правила отыскания производных для дифференциалов?
Каков геометрический смысл дифференциала функции?
5. По какой формуле можно вычислить приближенное значение функции?