Презентация на тему: "Презентация "Полный дифференциал функции двух и более переменных. Решение задач.""

Полный дифференциал функции двух и более переменных. Решение задач.

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Полный дифференциал функции двух переменных

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
13 апреля 2020
Красноярск
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Найти полный дифференциал функции:

Найти полный дифференциал функции:

Исследование функции многих переменных на экстремум

Функция z = f(x;y) имеет максимум (минимум) в точке М0(х0;у0) если существует окрестность этой точки, такая, что для всех точек М(х;у), принадлежащих этой окрестности и области определения функции, значение функции в точке М0(х0;у0) больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М(х;у) из этой окрестности, т.е. выполняется условие
F(x0;y0) f(x;y) (соответственноF(x0;y0) f(x;y) )
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка М0(х0;у0), в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимые условия существования экстремума.
Если точкаМ0(х0;у0) является точкой экстремума функции z = f(x;y), то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю. Т.е.


Такие точки называются критическими (стационарными) точками. Не всякая критическая (стационарная) точка является точкой экстремума.

Достаточные условия существования экстремума.
Пусть функция z = f(x;y) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности критической точки М0(х0;у0). Введем обозначения:

И составим дискриминант(определитель)

Тогда точка М0(х0;у0):
Является точкой минимума, если в этой точке А>0, ∆>0;
Является точкой максимума, если в этой точке А<0, ∆>0;
Не является точкой экстремума, если в этой точке ∆<0.

Пример:
Исследовать на экстремум функцию z = х2 + ху +у2 – 3х – 6у