Презентация на тему: "Презентация по алгебре на тему "Свойства степени с натуральным показателем" (умножение и деление степеней)"

СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь.
М.В.Ломоносов
 (1711 — 1765) 

Цель нашего урока
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем,
на основе которых выполняются преобразования.
ВЫ УЗНАЕТЕ:
Определение степени с натуральным показателем.
Свойства произведения и частного степеней.

Исторический факт
Ученики Пифагора изображали числа в виде точек или выкладывали их из камешков. Квадраты натуральных чисел они называли квадратными и изображали так:

Математическая разминка
Вычислить устно: 34, 22, (- 4)3 , 105, 51, 23, (- 8)2, 53, (- 1)100.
3) Записать в виде степени:
2∙2∙2∙2∙2∙2;
3∙3∙3∙3∙3;
с∙с∙с∙с∙с∙с∙с;
(х+у)(х+у)(х+у)(х+у);
b∙b∙b.
2) Вспомнить определение степени и расписать по определению следующие степени: 65, а7, (- 2)3, х9.

Значения степени
Заполните таблицу

Что сделано дома
№ 6.12
1)
307;
№ 6.12
2)
0,152 ;
№ 6.12
3)
75.
№ 6.14
1)
8
№ 6.14
2)
64.

Произведение степеней
Стр. 40
Работа с учебником
Определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев: когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1.
Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1,
называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:
Степенью числа а с показателем, равным 1, называют само число а:
а1 = а.

Рассмотрим произведение двух степеней с одинаковыми основаниями:
а 𝟐 ∙ а 𝟓
Представим данное выражение в виде степени с основанием а
а 𝟐 ∙ а 𝟓 = (а ∙ а) ∙ (а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а)
= а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а
Произведение степеней
= а 𝟕
Следовательно, а 𝟐 ∙ а 𝟓 = а 𝟐+𝟓

Прослеживается закономерность:
если a — любое число и т и п — любые натуральные числа, то am∙an = aт + п.
Однако никакое количество конкретных примеров не может гарантировать, что приведенное равенство верно для любых натуральных т и п.
Произведение степеней
Истинность его можно установить только путем
доказательства.
В математике утверждение, справедливость которого установлена с помощью доказательства, называют теоремой.

Теорема 6.1.
Для любого числа а и любых натуральных чисел
т и п справедливо равенство а 𝒎 ∙ а 𝒏 = а 𝒎+𝒏
Доказательство:
Произведение степеней
Для т > 1 и п > 1 имеем:
а 𝒎 ∙ а 𝒏 =( а ∙ а ∙ а ∙ ...∙ а ) ( а ∙ а ∙ а ∙ ...∙ а ) =

т множителей п множителей
а ∙ а ∙ а ∙ ...∙ а
(т + п) множителей
=
= а 𝒎+𝒏

Для полноты доказательства следует отдельно рассмотреть случаи:
т = 1 и п > 1 ;
т > 1 и п = 1;
Произведение степеней
т = п = 1 .
1) если т = 1 и п > 1
а ∙ а 𝒏 =
а ∙( а ∙ а ∙ а ∙ ...∙ а ) =

п множителей
а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ ...∙ а =

п+1 множителей
а 𝒏+𝟏
2) если т > 1 и п = 1
3) если т = п = 1

Тождество а 𝒎 ∙ а 𝒏 = а 𝒎+𝒏 выражает основное свойство степени:
при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют прежним.
Аналогичное свойство имеет место для произведения трех и более степеней
Произведение степеней
Например, 2 2 ∙ 2 4 ∙ 2 5 = 2 2+4+5 = 2 11 .

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:
а 𝟗 : а 𝟒
Поскольку а 𝟒 ∙ а 𝟓 = а 𝟗 ,
то по определению частного можно записать
а 𝟗 : а 𝟒 = а 𝟓 ,
то есть а 𝟗 : а 𝟒 = а 𝟗 −𝟒
Частное степеней

Теорема 6.2.
Для любого числа а, отличного от нуля, и любых натуральных чисел т и п таких, что
т > п, справедливо равенство а 𝒎 : а 𝒏 = а 𝒎−𝒏
Доказательство:
Частное степеней
Рассмотрим произведение степеней
а 𝒏 и а 𝒎−𝒏

Используя основное свойство степени, имеем


а 𝒏 ∙ а 𝒎−𝒏 =


а 𝒏+(𝒎−𝒏) =


а 𝒏+𝒎−𝒏 =

а 𝒎

Тогда по определению частного:

а 𝒎 : а 𝒏 = а 𝒎−𝒏

Тождество а 𝒎 : а 𝒏 = а 𝒎−𝒏 выражает следующее свойство степени:
при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним.
Частное степеней

1) m5∙ m4 = m5 + 4 = m9 ;
2) х ∙ х7 = х1 + 7 = х8 ;
Действуем по правилам
3) а3 ∙ а3 = а3 + 3 = а6 ;
4) 68 ∙ 63 = 68 + 3 = 611 ;
№ 7.1
5) у3 ∙ у5 ∙ у9 = у3 + 5+ 9 = у17 ;
6) с8 ∙ с9 ∙ с = с8 + 9+ 1 = с18 ;
7) (b – с)10 ∙ (b – с)6 = (b – с)10 + 6 = (b – с)16 ;
Представьте в виде степени произведение:

1) a6∙ ⁎ = a14
1) a6∙ a8 = a14;
Действуем по правилам
2) ⁎ ∙ а6 = а7
2) a ∙ а6 = а7;
№ 7.3
3) a10 ∙ ⁎ ∙ a2 = a18
3) a10 ∙ a6 ∙ a2 = a18;
Замените звёздочку степенью с основанием а, чтобы выполнялось равенство :

1) a12: а3 = а12 – 3 = а9 ;
2) b6 : b = b6 – 1 = b5 ;
Действуем по правилам
3) c7 : c6 = c7 – 6 = c ;
4) (a + b)8 : (a + b)4 = (a + b)8 – 4 = (a + b)4 ;
№ 7.5
Представьте в виде степени частное:

1) 77: 75 = 77 – 5 = 72 = 49 ;
2) 1018 : 1014 = 1018 – 14 = 104 = 10000 ;
Действуем по правилам
3) 0,69 : 0,66 = 0,69 – 6 = 0,63 = 0,216 ;
4) −1 𝟏 𝟖 𝟓 : −1 𝟏 𝟖 𝟑 = −1 𝟏 𝟖 𝟓−𝟑 = −1 𝟏 𝟖 𝟐
№ 7.6
Найдите значение выражения:
= − 𝟗 𝟖 𝟐 = 𝟖𝟏 𝟔𝟒 = 1 𝟏𝟕 𝟔𝟒

Работаем с текстом
№ 1

Работаем с текстом
№ 2

Рассуждаем (продвинутым)
№ 3
а
<
б
=
№ 4
а
a3k
в
a3
д
a2k

Применяем алгебру (продвинутым)
№ 5
?
25
?
2
?
2,25

Практическая ситуация
№ 6
?
135 жителей

Проблемные вопросы
Знание степени числа – это необходимость или лишнее в нашей жизни?

Какова история возникновения степени числа и какую роль она играет в жизни человека?
Где применяется в жизни понятие степени числа?
Как используют свойства степени для нахождения значения выражения?
Домашнее задание
§ 7, выучить Т.1, Т.2; № 7.2, 7.4, 7.7, 7.22