Презентация на тему: "Презентация по информатике на тему "Системы счисления" (8-10 классы, СПО 1 курс)"

Системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел
с помощью заданного набора специальных
знаков (цифр)





вес цифры не зависит от
её позиции в числе
вес каждой цифры изменяется
в зависимости от её положения

Системы счисления

непозиционные позиционные



Единичная Двадцатеричная народов
племени Майя
Римская Вавилонская
(цифры I, V, X, L, C, D, M)
Древнеегипетская Древнекитайская
десятеричная
Древнегреческая Двоичная

Славянская Десятичная
кириллическая (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Алфавит системы содержит неограниченное
количество символов.

Унарные системы
Число образуется путем повторения одного знака,
символизирующего единицу.
=
Единичная система счисления 10 - 11 тыс. лет до н. э.

Древнеегипетская система счисления
= 1205

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

= 23029
Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.
 Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.

10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.
1000. Цветок лотоса


100. Мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
1 000 000. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
10. Такими путами египтяне связывали коров
10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца
1. Для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
,
- 1 023 029

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

9 = 10 -1



НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

12 = 10 + 1 + 1

Римская система счисления - для записи
чисел используются буквы латинского алфавита





Для записи чисел используются два правила:






1- каждый меньший знак, поставленный слева от
большего, вычитается из него;
2- каждый меньший знак, поставленный справа от
большего, прибавляется к нему.






IX



XII

Древнегреческие системы счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления

Древнегреческая аттическая пятеричная
= 256
= 2051
= 382
Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная
= 265
= 503
= 731

Славянская система счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления

=
=
Для обозначения чисел больших,
чем 900 использовались специальные
значки, которые дорисовывались к букве.

Недостатки непозиционных системы счисления
1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3.  Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Основание системы – это количество различных знаков, используемых для изображения чисел в данной системе.
Набор символов, используемый для обозначения цифр, называется алфавитом.



ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Троичная 0, 1, 2

Пятеричная 0, 1, 2, 3, 4

Двенадцатеричная
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B


Позиция цифры в числе называется разрядом.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
с произвольным основанием


В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1. Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
В развёрнутой форме число в системе счисления с основанием q записывается следующим образом:
Aq=an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m
Здесь: Aq – число в q-ичной системе счисления,
q – основание системы счисления,
аi - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n – число целых разрядов числа,
m – число дробных разрядов числа.

ОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЕЛ В ПСС
0
Первые десять целых чисел
Десятичная система
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Троичная система
0 1 2 10 11 12 20 21 22 100
Двенадцатеричная система
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Пятеричная система
0 1 2 3 4 10 11 12 13 14
1
2…
9
1
1
1
2
2
0
1
…
9
0
1

Системы счисления для общения с компьютером
1
0
Десятичная система счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Десятичная
система счисления
Цифры 1234567890 сложились в Индии
около 400 г. н. э.
Арабы стали пользоваться
подобной нумерацией около 800 г. н. э.
Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию
начали применять в Европе.

Десятичная система счисления
Основание: p=10.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
2 1 0 -1 -2 -3
765,34510=7⋅102+6⋅101+5⋅100+3⋅10−1+4⋅10−2+5⋅10−3

Двоичная система счисления
1 0 1 1
Используются две цифры – 0 и 1
Применяются в технических устройствах
1703г. – великий немецкий математик Лейбниц ввел в математику двоичную систему счисления.
1936-1938гг. – американский инженер и математик Клод Шеннон предложил использовать двоичную систему счисления для конструирования электрических схем.

Двоичная система счисления
Основание: p=2.
Алфавит: 0, 1.
Достоинства:
возможность использования наиболее простой элементной базы микроэлектроники - всего с двумя устойчивыми состояниями;
возможность использования аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
возможность использования простейших правил арифметики.

Двоичная система счисления
Основной недостаток:
быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел.
Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
3 2 1 0 -1 -2
1011,012=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅20+0⋅2−1+1⋅2−2

Восьмеричная система счисления
Основание: p=8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады (группы по 3 разряда) двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Восьмеричная система счисления

Число в восьмеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 8), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
2 1 0 -1 -2
567,128=5⋅82+6⋅81+7⋅80+1⋅8−1+2⋅8−2

Шестнадцатеричная система счисления
Основание: p=16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.

Шестнадцатеричная система счисления
Число в шестнадцатеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 16), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
3 2 1 0
10FC16=1⋅163+0⋅162+F⋅161+C⋅160

Перевод числа из произвольной позиционной системы счисления в десятичную
Представить число в развёрнутой форме.
Вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики.
Пример:
1) Перевести двоичное число 10110,1012 в десятичную систему счисления:
4 3 2 10 -1-2-3
10110,1012=1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+0⋅20+1⋅2−1+0⋅2−2+1⋅2−3==16+0+4+2+0+0,5+0+0,125=22,62510
2) Представим шестнадцатеричное число 5D8,AC16 в виде суммы слагаемых, а затем произведем их сложение:
2 1 0 -1 -2
5D8,AC16=5⋅162+13⋅161+8⋅160+10⋅16−1+12⋅16−2
=1280+208+8+0,625+0,046875=1496,67187510

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую позиционную систему
Правило перевода целой части числа
число N делится на новое основание р;
полученный остаток запоминается или записывается (это будет цифра младшего разряда);
целая часть полученного частного снова делится на р;
опять запоминаем полученный остаток (это будет цифра следующего разряда) и т. д.
Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока целая часть частного не окажется меньше, чем основание системы счисления р. Эта последняя целая часть частного будет цифрой старшего разряда. Результат формируется путем последовательной записи цифры старшего разряда и всех записанных остатков в порядке, обратном их получению.

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую позиционную систему
Пример:
Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:






Замечание: остаток 1110 записывается шестнадцатеричной цифрой B16.
Ответ: 7510=10010112=1138=4B16

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую позиционную систему
Правило перевода дробной части числа
дробная часть числа умножается на основание р;
запоминается или записывается цифра результата, переносимая в целую часть;
оставшаяся дробная часть числа умножается на основание р;
снова фиксируется цифра результата, переносимая в целую часть, и т. д.
Такое последовательное умножение продолжается до тех пор, пока в дробной части не будет получен ноль или достигнута требуемая точность, например 5 знаков после запятой. Результат формируется в виде последовательной записи зафиксированных цифр переносов в целую часть в том порядке, в котором они были получены.

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую позиционную систему
Пример:
Переведем число 0,8125 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:







Замечание: число 1310 записывается шестнадцатеричной цифрой D16.
Ответ: 0,812510=0,11012=0,648=0,D16

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую позиционную систему
Пример:
Переведем число 194,125 из десятичной системы в двоичную:







Ответ: 194,12510=11000010,0012

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно
Таблица 1
Таблица соотношения чисел в системах счисления с основаниями 10, 2, 8, 16

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно
Для перевода двоичного числа в восьмеричное следует воспользоваться следующим алгоритмом:
разделить целую часть числа на триады от младших разрядов к старшим (влево от запятой);
разделить дробную часть на триады в обратном направлении (вправо от запятой);
заменить каждую триаду двоичных чисел соответствующей восьмеричной цифрой по таблице 1;
недостающие до триады позиции заполнить незначащими нулями.
Пример:
1010,111112=001010,1111102=12,768

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно
Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное следует воспользоваться следующим алгоритмом:
разделить целую часть числа на тетрады (по четыре двоичных разряда) от младших разрядов к старшим (влево от запятой);
разделить дробную часть на тетрады в обратном направлении (вправо от запятой);
заменить каждую тетраду двоичных чисел соответствующей шестнадцатеричной цифрой по таблице 1;
недостающие до тетрады позиции заполнить незначащими нулями.
Пример:
10101001,101112=10101001,101110002=A9,B816

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно
Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каждую цифру этого числа заменить двоичной триадой (три разряда) в соответствии с таблицей.
Пример:
734,468=111011100,1001102

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное достаточно каждую цифру этого числа заменить двоичной тетрадой (четыре разряда) в соответствии с таблицей.
Пример:
A0,F816=10100000,111110002

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно
Для данного перевода в качестве промежуточной системы используется двоичная. То есть для перевода можно воспользоваться следующей схемой:
A8 A16: A8 A2 A16 A16 A8: A16 A2 A8
Пример:
Дано: A8=275,034. Найти A16
Решение:
A8=275,034
A2= 010111101,000011100
В D 0 E
Ответ: A16=BD,0E

Арифметические операции в позиционных системах счисления
Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление уголком. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
Таблицы сложения в любой позиционной системе счисления легко составить, используя правило счета:
если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд.

Таблицы сложения в позиционных системах счисления
Таблица сложения в двоичной системе



Таблица сложения в восьмеричной системе

Таблицы сложения в позиционных системах счисления
Таблица сложения в шестнадцатеричной системе

Сложение в позиционных системах счисления
Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
Решение. Переведем числа 15 и 6 в двоичную и восьмеричную системы счисления и выполним сложение, используя соответствующие таблицы сложения.

Ответ: 15+6=2110=101012=258

Вычитание в позиционных системах счисления
Вычитание осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
При вычитании из меньшего числа большего производится заем из старшего разряда.
Пример:
1) Вычислим разность X−Y двоичных чисел, если X=10101002 и Y=10000102. Результат представим в двоичном виде.
Решение:
Ответ: 100102

Таблицы умножения в позиционных системах счисления
Таблица умножения в двоичной системе



Таблица умножения в восьмеричной системе

Таблицы умножения в позиционных системах счисления
Таблица умножения в шестнадцатеричной системе

Умножение в позиционных системах счисления
Пример:
Перемножим числа 15 и 12.

Ответ: 15⋅12=18010=101101002=2648

Деление в позиционных системах счисления
Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Следует только грамотно пользоваться теми цифрами, которые входят в алфавит используемой системы счисления.
Пример:

При выполнении любых арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, следует предварительно перевести их в одну и ту же систему.