Презентация на тему: "Презентация "Решения неравенств с двумя неизвестными""

Решение неравенств с двумя неизвестными
Исследовательская работа
выполнена ученицей 9 «Б» класса
МАОУ Гимназия №216 «ДИДАКТ».
Учитель математики МАОУ Гимназия №216 «ДИДАКТ»
Слепчёнкова Татьяна Викторовна.

Решить неравенство – это значит найти все значения, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое равенство. Совокупность всех решений называют множеством решений. Решить неравенство – значит найти множество его решений.

При решении неравенств с двумя неизвестными обычно используются геометрическими интерпретациями, которые во многих случаях дают представление о характере общего решения. Чтобы решить неравенство F (x ; y)<0 или F (x ; y)>0, надо:

Построить линию, которая задаёт уравнение F (x ; y).
Если неравенство строгое, то линия обозначается пунктиром, а если нестрогое – сплошной линией.
Опираясь на теорему: “в каждой из областей, на которые линия
F (x ; y)=0 делит плоскость, многочлен F (x ; y) либо положителен, либо отрицателен”, выбираем пробные точки в каждой из областей. Знак, который функция принимает в этой точке, она принимает и во всей области.

Решение неравенств с двумя переменными
(алгебраический метод).
Решить неравенство: (х2+у2-4)(х2+у2-16)<0
Найдем нули функции: (х2+у2-4)(х2+у2-16)=0.
х2+у2-4=0 или х2+у2-16=0.
Найдем нули функций у(х).
х2+у2-4=0 х2+у2-16=0.

Решение неравенств с двумя переменными.
Пример 1.
Решить неравенство:
х2+4х+у2-6у-12>0
Преобразуем данное неравенство:
(х-2)2+(у+3)2>25
Строим линию (х-2)2+(у+3)2=25.
Это окружность с центром А(2;-3) и R=5

Выберем пробные точки и проверим.
Например В(2;-2)02+12>25 неверно
С(8;0) 62+32>25 верно
Решение неравенства отмечено на рисунке штриховкой


.
0
у

х
А
2
-3
Пример 2.
Решить неравенство: (х2+у2-4)(х2+у2- 16)<0
Строим лини ю: (х2+у2-4)(х2+у2-16)=0.
Или (х2+у2-4)=0, или (х2+у2-16)=0
х2+у2=4 х2+у2=16
Это две окружности с центром в начале координат и R1=2 , R2=4.
0
2
4
А
В
С
у
х
Получилось три области. Берем пробные точки из каждой области и проверяем.
А(1;0) (12+02-4)(12+02-16)<0 неверно
В(3;0) (32+02-4)(32+02-16)<0 верно
С(5;0) (52+02-4)(52+02-16)<0 неверно
Решение неравенства отмечено на рисунке штриховкой

Решение неравенств с двумя переменными.
Применим метод интервалов:
Аналогично рассматривается функции х(у).
Получим решение:
Ответ:

Изображение множество точек, удовлетворяющих неравенству
Пример 4.
Изобразить множество точек, удовлетворяющих неравенству:
х2у2+1 х2+у2
Строим линию х2у2+1=х2+у2.
х2(у2-1)-(у2-1)=0
(х2-1)(у2-1)=0
х2-1=0 или у2-1=0
х2=1 у2=1
х1,2=+1 у1,2=+1
Строим четыре прямые: х=1,х= -1,у=1, у= -1.
Получим много областей, выбираем точки в каждой области и проверяем их


0

1
-1
А
В
С
D
E
I
F
H
G
1
-1

Изображение множества точек, удовлетворяющих уравнению.



Пример 6.
Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которые удовлетворяют уравнению:
Если 4-х2-у2>0, то у=-х2;
Если 4-х2-у2<0, то у=х2
Строим линию 4-х2-у2=0,
у2+х2=4.
Это окружность с центром в начале координат и R=2.
Если у2+х2<4, то у=-х2,
Если у2+х2>4, то у=х2
Решение отмечено на рисунке строгой линией.
у
х
0
2

Нахождение площади фигур, ограниченных линией
Изобразить множество точек и вычислить площадь полученной фигуры:

Строим линию


Получается квадрат со стороной .
S=а2=18 (кв.ед.)

у
х
-3
3
-3
3
Решение на рисунке изображено штриховкой.

Решение систем неравенств с двумя неизвестными
Решите систему неравенств

.
Построим линии
Выбираем пробные точки и проверяем
и
А(1;0)
верно
В(2;2)
неверно
С(-2;2), D (2;-2)
верно
Е(5;5)
неверно

Решение систем неравенств с двумя неизвестными
у
х
4
-4
4
-4
Решение системы

Спасибо за внимание.