Презентация на тему: "Решение задачи 12 на ЕГЭ 2023 по математики профильный уровень"

Учитель математики
МАОУ Лицей «Надежда»
Лукьянцева С.А.
31.10.22
Практикум по решению заданий ЕГЭ профильной математики 2023 год
Задача 12

12.1 а) Решите уравнение: (sin(4x - 𝟓𝝅 𝟐 ) + 2 cos 𝟑 𝟒𝒙) 𝒕𝒈𝟒𝒙 = 0;
б) Укажите корни этого уравнения из промежутка [ 𝜋 2 ; 𝜋]
Решение: Левая часть уравнения равна нулю, если
sin(𝟒𝒙 − 𝟓𝝅 𝟐 ) + 2 cos 𝟑 𝟒𝒙=𝟎 (𝟏) 𝒕𝒈𝟒𝒙 ≥ 𝟎 (𝟐) и 𝒕𝒈𝟒𝒙 = 0 (3)
Рассмотрим ограничения (2) Подкоренное выражение неотрицательное, решим неравенство: 𝒕𝒈𝟒𝒙 ≥ 𝟎,
пусть 4x = t, тогда 𝒕𝒈𝒕 ≥ 𝟎

𝒕𝒈𝒕 ≥ 𝟎
0 + 𝝅𝒏≤𝟒𝒙 < 𝝅 𝟐 + 𝝅𝒏,𝒏 𝝐 Z
𝝅𝒏 𝟒 ≤𝒙 < 𝝅 𝟖 + 𝝅𝒏 𝟒 ,𝒏 𝝐 𝒁

0 + 𝝅𝒏≤𝒕 < 𝝅 𝟐 + 𝝅𝒏,𝒏 𝝐 Z

𝝅𝒏 𝟒 ≤𝒙 < 𝝅 𝟖 + 𝝅𝒏 𝟒 ,𝒏 𝝐 𝒁




Выделим интервалы
на единичной
окружности,
удовлетворяющие
условию (2)

Решим (3) уравнение:
𝒕𝒈𝟒𝒙 = 0 частный случай
𝟒𝒙 = 𝝅𝒌, 𝒌𝝐 𝒁
𝒙 = 𝝅𝒌 𝟒 , 𝒌𝝐 𝒁 этот корень удовлетворяет условию (2)
Решим (1) уравнение: sin(𝟒𝒙 − 𝟓𝝅 𝟐 ) + 2 cos 𝟑 𝟒𝒙=𝟎
Воспользуемся формулой приведения sin( 𝟓𝝅 𝟐 −𝜶)=cos 𝜶
Так как синус функция нечётная, то имеем
− sin( 𝟓𝝅 𝟐 − 𝟒𝒙) + 2 cos 𝟑 𝟒𝒙=𝟎

𝒕𝒈𝟒𝒙 = 0

− sin( 𝟓𝝅 𝟐 −𝟒𝒙) + 2 cos 𝟑 𝟒𝒙=𝟎;
− cos𝟒𝒙 + 2 cos 𝟑 𝟒𝒙=𝟎;
cos𝟒𝒙(2 cos 𝟐 𝟒𝒙 − 1) =𝟎;
В скобках формула: cos 𝟐𝜶 = 2 cos 𝟐 𝜶 − 1
cos𝟒𝒙cos8𝒙=𝟎;
cos𝟒𝒙 =𝟎 (ч.с.) или cos8𝒙 =𝟎 (ч.с.)
𝟒𝒙 = 𝝅 𝟐 + 𝝅𝒎, 𝒎 𝝐 𝒁 8𝒙 = 𝝅 𝟐 + 𝝅𝒍, 𝒍 𝝐 𝒁
𝒙 = 𝝅 𝟖 + 𝝅𝒎 𝟒 𝒎, 𝒎 𝝐 𝒁 𝒙 = 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒍 𝟖 ,𝒍 𝝐 𝒁
Данный корень не удовлетворяет отметим корни на единич-
Условию (2) ной окружности

На рисунке видно, что
не все корни
𝒙 = 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒍 𝟖 ,𝒍 𝝐 𝒁
удовлетворяют условию
(2)
Следовательно, необходимо изменить периодичность на 𝝅𝒍 𝟒
тогда
𝒙 = 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒍 𝟒 ,𝒍 𝝐 𝒁
корень данного уравнения

Корни данного уравнения
𝒙 = 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒍 𝟖 ,𝒍 𝝐 𝒁
𝒙 = 𝝅𝒌 𝟒 , 𝒌𝝐 𝒁
𝒙 = 𝝅𝒌 𝟒 , 𝒌𝝐 𝒁

б) Укажите корни этого уравнения из промежутка [ 𝝅 𝟐 ; 𝝅]
𝒙 𝝐 𝝅 𝟐 ; 𝟗𝝅 𝟏𝟔 ; 𝟑𝝅 𝟐 ; 𝟏𝟑𝝅 𝟏𝟔 ;π

Ответ:
а) 𝒙 = 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒍 𝟖 ,𝒍 𝝐 𝒁
𝒙 = 𝝅𝒌 𝟒 , 𝒌𝝐 𝒁
б)
𝒙 𝝐 𝝅 𝟐 ; 𝟗𝝅 𝟏𝟔 ; 𝟑𝝅 𝟐 ; 𝟏𝟑𝝅 𝟏𝟔 ;π

Учитель математики
МАОУ Лицей «Надежда»
Лукьянцева С.А.
31.10.22
Практикум по решению заданий ЕГЭ профильной математики 2023 год
Задача 12