Презентация на тему: "Решение стереометрических задач на построение сечений"

Мастер-класс
«Решение стереометрических задач на построение сечений»

2
Многогранник – геометрическое тело, граница (поверхность) которого есть объединение конечного числа многоугольников.
Что такое многогранник?

Что такое сечение?
Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.
Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.
*Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.
*Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением.
3

Существует три основных метода построения сечений многогранников:
1. Метод следов.
2. Метод внутреннего проецирования.
3. Комбинированный метод.
Методы построения сечений
4

Метод следов
Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости в плоскости этого основания.
Суть метода – восстановить следы сечения плоскостью на ребрах и гранях многоугольника с помощью построения следа сечения плоскостью на основание многоугольника (главного следа).
Построение главного следа:
1) в с/п выбрать пару прямых a и b, не параллельных опорной плоскости;
2) построить их проекции и на опорную плоскость;
3) найти точки пересечения:
и ;
4) провести прямую AB – след с/п на выбранной опорной плоскости.
5

Ограничения применения:
выбранная прямая секущей плоскости параллельна плоскости проекций (опорной плоскости);
след выбранной прямой секущей плоскости находится за рамками чертежа (прямая «почти параллельна» плоскости проекций);
условием задачи или предыдущими шагами решения установлено положение только одной точки, принадлежащей с/п.
6

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
R
S1
S2
U
T
Задача 1. Построить сечение призмы плоскос-тью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 1).
Решение.
Рис. 1
- след секущей плос-кости на плоскость нижнего основания пирамиды, т.е.

- искомое сечение
7

Задача 2. Точки расположены на ребрах соответственно
куба (рис. 2). Постройте методом следов сечение этого куба плоскостью .
Решение.
- искомое сечение данного куба плоскостью .
Рис. 2
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
K
M
T1
P1
T2
- след секущей плоскости на плоскость нижнего основания пирамиды, т.е.
R
F
T3
H
8

Метод внутреннего проецирования
Суть метода – найти дополнительные точки с/п по проекциям ее известных точек на опорную плоскость при выбранном аппарате проецирования.
Требование: проекции искомых точек с/п на опорную выбирают так, чтобы они были связаны с проекциями известных точек с/п, и чтобы число графических операций при решении задачи было минимальным.
9
Достоинство – построения выполняются внутри изображения многогранника.
Удобно применять, когда
точки, задающие с/п, принадлежат разным граням или одна из них расположена внутри или вне многогранника;
прямая, определяющая с/п, параллельна основанию многогранника.

Задача 3. Постройте сечение призмы
плоскостью , заданной точками
(рис. 3).
Рис. 3
Решение.
1) Точки B, D, E являются проекциями соответственно точек M, P, Q; точка A – проекция искомой точки на ребре AA1.








K
K1
R
H
H1
N
8) Пятиугольник – искомое сечение.

A
B
C
D
E
A₁
B₁
C₁
D₁
E₁
M
Q
P
10

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что искомое сечение строится с помощью метода следов или метода внутреннего проецирования, при этом дополнительно используются свойства данного многогранника, теоремы параллельности прямых и плоскостей.
Комбинированный метод
11

Задача 4. Точки M, K и P расположены на ребрах соответственно AA1, CC1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1(рис. 4). Постройте сечение этого куба плоскостью .
Рис. 4
Решение.
– искомое сечение данного куба плоскостью
T₁
R
F
H
A
B
C
D
A₁
B₁
C₁
D₁
P
M
K
12

6) OT – наклонная к плоскости ABC,
OB – проекция наклонной OT, следовательно по
т. о 3 – линейный угол двугранного угла TFGB.
Задача 5.
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точка M – середина ребра B1C1 , точка N лежит на диагонали B1D, причем . Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки M, N и параллельной прямой A1C1.

Решение:

Ответ:
A
C1
B
D1
D
A1
C
B1
N
M
E
T
O
G
F
L
K
H
4) FHEMKG – искомое сечение
13

Спасибо за внимание!