Презентация на тему: "Презентация "Задачи на оптимизацию""

Нам производная
строить и жить помогает

y3 – 3x2y – 5x ≥ 0;
f(y) = y3 – 3x2y – 5x.
Переформулируем условие:
найти все значения параметра x, при каждом из которых функция f(y)
принимает неотрицательные значения на множестве (0; + ∞).


f ′(y) = 3y2 – 3x2y = 3(y – |x|)(y + |x|)
y = |x|
При x = 0 на промежутке (0;+∞) f(y) = y3 и при y > 0, f(y) > 0.


При x ≠ 0, y = |x| - критическая точка.

Задача №1.
Найти все действительные числа x такие, что при всех положительных y выполняется неравенство
|x|≠0
0
y
f ′(y)
f (y)
+
-

Задача №1
y3 – 3x2y – 5x ≥ 0;
f(y) = y3 – 3x2y – 5x.
Найти все значения параметра x, при каждом из которых функция f(y)
принимает неотрицательные значения на множестве (0; + ∞).



Ответ:
Задача №1.
Найти все действительные числа x такие, что при всех положительных y выполняется неравенство

«Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
Чебышёв
Пафнутий Львович (1821-1894)
Задачи
на оптимизацию

Алгоритм решения задач на оптимизацию

I этап. Составление математической модели.
1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину, т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой y (или S, V, t и т.д.).
2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить оптимизируемую величину, примите за независимую переменную и обозначьте ее буквой x (или какой-либо иной буквой). Установите границы изменения независимой переменной (в соответствии с условиями задачи).
3. Исходя из условий задачи, выразите y через x. Математическая модель задачи представляет собой функцию с областью определения X, которую нашли на втором шаге.
II этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции найдите yнаим. или yнаиб. в зависимости от того, что требуется в условии задачи.
III этап. Ответ на вопрос задачи.
Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Пусть АС – шоссе, тогда ВС = 8,
Решение:
А
С
В
8 км
17 км
D
5 км/ч
3 км/ч
x
y
АВ = 17;

– время движения туриста.
(по т. Пифагора, т.к.
ABC – прямоугольный)
AC = AD + DC
Ответ: 9 км.
= 5 км/ч;
= 3 км/ч.
Пусть АD = х, а DB = у, тогда
Задача №2. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой равно 17 км. На каком расстоянии от А туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если его скорость по шоссе равна 5 км/ч, а по бездорожью - 3 км/ч?
(по т. Пифагора, т.к. BCD – прямоугольный)

- функция расстояния между параболой и прямой


Задача №3. Путь Вани домой идет сначала по шоссе, а потом по дороге, огибающей парк и имеющей форму параболы . В каком месте Ване наиболее выгодно свернуть с шоссе на дорожку, чтобы его путь домой был кратчайшим? (Шоссе имеет вид прямой, заданной уравнением в той же системе координат).
- критическая точка,
f ′(y)
f (y)
.
-
+
Ответ:

Задача №4. Имеется два мешка муки. В мешке весом 16 кг – мука первого и высшего сорта, в мешке весом 25 кг – мука первого и второго сортов. В оба мешка добавили муки первого сорта так, что процентное содержание муки высшего сорта в первом мешке уменьшилось в n раз, а процентное содержание муки второго сорта во втором мешке уменьшилось в m раз. О числах n и m известно только, что . Найти наименьшее количество муки первого сорта, которое могло быть добавлено в оба мешка вместе.










I.
II.
16 кг
25 кг
1 сорт
Высший сорт
1 сорт
2 сорт

Решение:
пусть x кг муки первого сорта добавили в первый
мешок,
Пусть p кг муки высшего сорта было
во второй – y кг.
в первом мешке.










I.
II.
16 кг
25 кг
1 сорт
Высший сорт
1 сорт
2 сорт
+ x
+ y

I.
II.
16 кг
25 кг
1 сорт
Высший сорт
1 сорт
2 сорт
+ x
+ y

Ответ: 80 кг.
1
3,5

0
min
при всех
Так как
, то
Ответ: .
Задача №5.
Сравнить и .

Список использованных источников

1. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 кл.: учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2014. – 352 с.
2. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткаченкова, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – 8-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 264 с.
3. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений. – 14-е изд. – М.: Мнемозина, 2013. – 400 с.
4. Шабунин, М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 11 класса / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 360 с.
5. Шабунин, М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 11 класа / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 384 с.