Презентация на тему: "Презентация по Алгебре и началам математического анализа "Показательная функция""

Дисциплина «СО.02.01 Математика»
Показательная функция, ее свойства и график.
Специальность: Все специальности
Курс 1

Авторы: Преподаватели математических дисциплин
КМПО РАНХиГС
Москва, 2022

Цели занятия:

изучение понятия показательной функции;
овладение основными алгоритмическими приемами построения графика показательной функции и решения простейших показательных уравнений;
изучение основных свойств показательной функции.

Вычислите:


а) 1 125
б) 8
в) 1 121
г) 1 4 9
д) 1 9
е) 36
ж) 1 32
з) 3 3 8
и) 81
к) 15 5 8

Вспомним основные свойства степени:

Определение:

Функцию вида y = ax , где a>0 и a≠ 1, называют показательной функцией с основанием a.

Построим функцию 𝐲= 𝟐 𝒙

Свойства функции 𝐲= 𝟐 𝒙

Построим функцию 𝐲= ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙

Свойства функции 𝐲= ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙

Обратите внимание


графики функций
𝐲= 𝟐 𝒙 и 𝐲= ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙 симметричны относительно оси у.

График показательной функции называют ЭКСПОНЕНТОЙ

Свойства функции 𝐲= а 𝒙 , а≠𝟏, а>𝟎

Свойство монотонности функции
𝐲= а 𝒙 , а≠𝟏, а>𝟎

Задание.
Выяснить возрастающей или убывающей является функция

𝒚= 𝟑 𝒙
𝒚= 𝟎,𝟓 𝒙
𝒚= ( 𝟏 𝟐 ) −𝒙
𝒚= 𝟏,𝟑 −𝒙




Возрастающая
Убывающая
Возрастающая
убывающая

Задание.
2. Используя свойство возрастания и убывания показательной функции, сравнить числа:
𝟏,𝟕 𝟑 и 1
𝟎,𝟑 𝟐 и 1





1) 1,7 3 > 1,7 0 (т.к. а>1, то функция возрастающая (большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
2) 0,3 2 < 0,3 0 (т.к. 0<а<1, то функция убывающая (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

Задание.





а=0,1, т.е. 0<а<1, х= 2 , значит 0,1 2 <1
а=3,5, т.е. а>1, х=0,1, значит 3,5 0,1 >1
а=𝜋, т.е. а>1, х= -2,7, значит 𝜋 −2,7 <1
а= 5 5 , т.е. 0<а<1, х= -1,2, значит 5 5 −1,2 >1

Задание.





Решите графически неравенство
( 1 2 ) х +1<3
Решение:
В одной системе координат построим графики функций у= ( 1 2 ) х +1 и у=3
Ответ (-1;+∞)

Задание.

Решить уравнение
𝟓 х = 𝟏 𝟓
𝟕 х =𝟒𝟗
( 𝟏 𝟑 ) х = 𝟑

Решение уравнений.

Решение уравнения
𝟓 х = 𝟏 𝟓
Это простейшее показательное уравнение. Для того, чтобы его решить
1) необходимо обе части уравнения привести к степени с одинаковым основанием;
2) степени равны когда их основания равны и показатели равны;
3) приравниваем показатели степеней.
𝟓 х = 𝟓 −𝟏
х=−𝟏

Решение уравнений.

Решение уравнения
𝟐) 𝟕 х =𝟒𝟗
Это простейшее показательное уравнение. Для того, чтобы его решить
1) необходимо обе части уравнения привести к степеням с одинаковым основанием;
2) степени равны когда их основания равны и показатели равны;
3) приравниваем показатели степеней.
𝟕 х = 𝟕 𝟐
х=𝟐

Решение уравнений.

Решение уравнения
3) ( 𝟏 𝟑 ) х = 𝟑
Это простейшее показательное уравнение. Для того, чтобы его решить
1) необходимо обе части уравнения привести к степеням с одинаковым основанием;
2) степени равны когда их основания равны и показатели равны;
3) приравниваем показатели степеней.
𝟑 −х = 𝟑 𝟏 𝟐
х=− 𝟏 𝟐

Задание.

Задание.

Записать данную зависимость в виде показательной функции
у= 𝟖 𝟐х 𝟐 𝟓х
у= 𝟐 𝟕х 𝟒 𝟐х


у= 2 6х 2 5х ; у= 2 х
у= 2 3,5х 2 4х ;у= 2 −0,5х ;у= ( 1 2 ) х

Самостоятельная работа.

Проверь себя.
(−∞;−𝟏)
а) 𝟎,𝟏 𝟐 <𝟏; б) 𝟒,𝟐 𝟎,𝟏 >𝟏; в) 𝝅 −𝟑,𝟏 <𝟏; г) ( 𝟑 𝟑 ) −𝟏,𝟑 >𝟏
Наибольшее значение функции у(-3)=8, наименьшее значение функции у(1)= 𝟏 𝟐
х=7

Домашнее задание.