Презентация на тему: "Презентация «Основное тригонометрическое тождество и следствие из него» (1 курс, мед.колледж)"

Добрый день!!!

Проверка домашнего задания

Актуализация опорных знаний
Дайте определение синуса?
Дайте определение косинуса?  
Дайте определение тангенса?
Дайте определение котангенса?

1. Выберите точку, в которой sin t = 1
а) t = π 6 ; б) t = π 2 ; в) t = 5π 4 ; г) t = - π 3 .
2. Вычислите: tg π 3 ;
а) 3 ; б) 1 3 ; в) - 3 ; г) - 1 3 .
3. Обозначьте на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению cost = 3 2 , и запишите каким числам t они соответствуют.
а) ± 𝜋 6 +2πk, kєZ; б) ± 𝜋 3 +2πk, kєZ
4. Определите знак числа: sin 4π 9
а)+; б)-.
5. Определите знак выражения sin 𝜋 4 · tg π 3
а)+; б)-.

Ответы на тест:

Наиболее важный, служащий опорой или фундаментом для других,  главный, самый существенный?
Царство, где живут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы?
Как в математике называют равенство, верное при любых допустимых значениях переменных?
Наступать, происходить, появляться после кого-чего-нибудь?
(основной)
(тригонометрия)
(тождество).
(следовать)

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Цель занятия:
Изучение основного тригонометрического тождества и следствия из него.

Историческая справка
Гиппархом (2 в. до н.э.)
Клавдий Птолемей (2 в. н.э.)

М (х; y)
R = 1
Х =
cosα
У=
sin α
Уравнение окружности:
(x) 2 + (у) 2 = R 2
(cos) 2 = (sin) 2 = 1 2
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1

(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1 - (cos) 2 α

(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1 ,
(cos) 2 α (cos) 2 α (cos) 2 α
𝐭𝒈 𝜶 = sin α cos α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶

(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1 - (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg α= 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶
?
ctg 2 α +1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶

tg α * ctg α
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶
ctg α = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶
=1
tg α * ctg α = 1

tg α * ctg α
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
=1
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α +1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

(cos) 2 α + (sin) 2 α + tg 2 α =
1 + tg 2 α =
1 + 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 1 =
= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶

Упростите:
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1 - (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

(sin α – cos α)2 – (sin α – cos α)2 -2

Упростите выражение:
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

( sin α + cos α )²

(sin α – 1)(sin α + 1)  

1- 2tq α*ctq α
 
tq² α +1 – 1/cos² α
1+ 2sin α cos α
- cos² α
-1
0

Упростите выражение:
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1 - (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

sin α /cos α + cosα/sin α
 
соs²α - 1 + sin² α

1/ tq α * 1/ ctq α
 
sin² α – 1 - cos² α
1/ sin α cos α
0
1
- 2cos² α

Работа в группах

Решение заданий с защитой у доски
(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α =1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

1 группа
Известно, что cos α =- 5 13 ,π ˂ α ˂ 3π/2. Найти: sin α; tg α; ctg α.
2 группа
Известно, что 𝜋 2 ˂ α ˂ π и sin α = 0,6. Найти cos α; tq α; ctg α.
3 группа
Известно, что tg α=3/4 и 0 ˂ α ˂ π/2. Найти: sin α; cos α; ctg α

Викторина «Кто вперед»

а) 1 – 1/sin² α
 
б) 1 – 1/cos² α
 
в) 1 + sin² α/cos² α

г) 1 + cos² α/sin² α
 
д) (1 - sin² α)/cos² α

е) (1 - cos² α )/cos² α


 
ж)( sin² α – 1)/sin² α
 
з) (cos² α – 1 )/sin² α
 
и) 1 + tq² α – 1/cos² α
 
к) 1 + ctq ² α – 1/sin² α
 
л) sin² α + cos² α + 5

Докажите тождество:


(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

.
1+𝑡𝑔𝑡 1+𝑐𝑡𝑔𝑡 =tgt
А)
Б)
В)

Упростите выражение:
а) sin α · cos α · tg α;
б) sin²х- tg x· ctg x;
в) (1- sin²α) · tg ²α;
г) cos²α· tg ²α 1−с𝑜𝑠²𝛼 .

(cos) 2 α + (sin) 2 α = 1
(cos) 2 α= 1 - (sin) 2 α
(sin) 2 α = 1- (cos) 2 α
1 + tg 2 α = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶
ctg 2 α + 1 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶
tg α * ctg α = 1
tg α = 𝟏 𝒄𝒕𝒈 𝜶
ctg α = 𝟏 𝒕𝒈 𝜶

.

Подведение итогов
- Я съел бы еще этого…
- Больше всего мне понравилось…
- Я почти переварил…
- Я переел…
- Пожалуйста, добавьте…

Домашнее задание

СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ !!!