Презентация на тему: "Презентация к уроку Сечения объемных фигур"

Сечения объемных фигур
Автор презентации:
Федорова А.Д.
Педагог детского технопарка «Кванториум»

Немного истории
Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. О зарождении геометрии в древнем Египте около 2000 лет до н.э. древнегреческий ученый Геродот(V в. до н.э.) писал следующее: "Сеозоострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину, участок по жребию и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию«.
Одной из самых первых и самых известных школ была пифагорейская (VIV вв. до н. э.), названная так в честь своего основателя Пифагора. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники, формы которых придавали элементам первооснов бытия, а именно: огонь – тетраэдр, земля - гексаэдр (куб); воздух – октаэдр; вода – икосаэдр; вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра.

Ученый древней Греции Евклид (III в. до н. э.) собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал по стереометрии. К 300-м годам до н. э. геометрия становится самостоятельной математической наукой.
Основы этой науки заложены были при разработке первых чертежей. Дошедшие до нас чертежи и рисунки Древней Руси говорят о том, что при их создании применялись методы близкие к геометрическим методам. Древние памятники инженерной графики свидетельствуют, что графическое искусство на Руси было на высоком уровне.
Представление о пространственных геометрических фигурах дают окружающие нас предметы. А обращать внимание только на их форму и размеры, пренебрегая всеми остальными свойствами: цветом, массой и т. д. Например, апельсин, капля воды в невесомости дают представление о шаре; спичечный коробок и многие жилые дома имеют форму параллелепипеда; усыпальницы египетских фараонов построены в форме пирамиды.

Понятие о сечениях геометрических тел плоскостью

Очень часто, чтобы правильно понять строение какой-либо сложно устроенной детали, необходимо узнать, как она выглядит внутри. Для этого инженеры, web-дизайнеры и пр. на чертежах изображают разнообразные сечения детали. Т.к. вы будущие инженеры, вам обязательно нужно знать, что это такое и как правильно создавать чертежи.
На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости; что расположено за секущей плоскостью, не показывают.
Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой. Её наносят тонкими линиями. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45 к линиям рамки чертежа.
«Сечение – изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями»

СЕЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

Для того чтобы сделать сечение, вводится секущая плоскость в том месте фигуры, где необходимо более полно выявить ее форму. Мысленно отбрасывается часть фигуры, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости сечения можно разделить на:
• горизонтальные — секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций;
• вертикальные – секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.
Рассмотрим сечения некоторых простых геометрических тел.

Сечение тел вращения

Телом вращения называется объемная фигура, полученная вращением плоской фигуры вокруг некоторой оси.
Основные виды тел вращения: шар, цилиндр, конус.
Представьте себе вращающуюся дверь на входе в торговый центр. Можно условно считать, что это прямоугольник, который вращается вокруг одной из своих сторон. Часть пространства, которую он покрывает в процессе вращения, является цилиндром

Сечение цилиндра
Цилиндр – это тело вращения, полученное путем вращения прямоугольника вокруг одной из своих сторон.
При горизонтальном сечении (сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию), в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.
При вертикальном сечении (осевое сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра), в сечении получаем прямоугольник.
При вертикальном сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т.е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

Сечение шара
Шар – это тело вращения, полученное путем вращения полукруга вокруг своего диаметра.
Независимо от того, какое сечение горизонтальное или вертикальное, все плоские сечения шара — круги.
Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.
Чем дальше проходит секущая плоскость от центра сферы, тем меньше радиус сечения.

Сечение конуса
Конус – это тело вращения, полученное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
Вертикальное сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.
Горизонтальное сечение плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность.

Сечение многогранников

Сечение пирамиды
Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Сечения пирамиды, проходящие через ее вершину, представляют собой треугольники. Так же и при сечении пирамиды плоскость проходящей через диагональ пирамиды, получает треугольник.
Если сечение плоскостью, параллельно основанию пирамиды, то в сечении, получаем многоугольник, аналогичный основанию, но меньшего размера.

Сечение призмы
Призма — многогранник, две грани которого многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками. Призмы бывают прямыми и наклонными.
У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
При сечении призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.
В сечении призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра, образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы.
В сечении прямой призмы проходящей через две грани получается прямоугольник, в наклонной призме - параллелограмм .

Сечение куба
Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.
Если секущая плоскость проходит через диагональ основания куба, то в сечении получается квадрат.
Если же секущая плоскость проходи параллельно диагональному сечению, то в сечении получается прямоугольник.
Если секущая плоскость параллельна одной из сторон куба или его основанию, то в сечении получается квадрат, равному стороне куба.

ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

Изучая свойства геометрических фигур - воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Общие понятия и знания, приобретенные в процессе изучения стереометрии, сечение плоскостью геометрических тел и не только, активно применяются человеком.

Домашнее задание

ПОЛУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПУТЕМ СЕЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТЕЛА ПЛОСКОСТЬЮ
Изучив теоретические аспекты, мы теперь сами будем получать различные геометрические фигуры путем сечения тел плоскостью.
Назовем нашу работу «вкусное сечение», так как в качестве геометрических тел используем продукты питания.
Для выполнения работы нам потребуется:
• доска разделочная – рабочая поверхность
• нож – секущая плоскость
• продукт питания – исследуемое геометрическое тело.

Апельсин, грейпфрут – шар.
При вертикальном сечении грейпфрута получим круги, причем самый большой получится при сечении через середину (центр) грейпфрута. Чем дальше от центра будем резать, тем меньше получатся круги.
У апельсина используем вертикальное сечение плоскостью. В сечении тоже получим круги и больший пройдет через центр апельсина. Чем дальше от центра пройдет сечение, тем меньше получатся круги.
Вывод: при вертикальном и горизонтальном сечении шара плоскостью, в сечении всегда получается круг.

Огурец – цилиндр.
Отрежем концы огурца, чтобы получить цилиндр.
При вертикальном сечении огурца получим прямоугольник. Наибольший будет в результате сечения плоскостью, проходящей через середину (центр) огурца. Чем дальше от центра пройдет сечение, тем меньше получатся прямоугольники.
При горизонтальном сечении получится круг. И в каком бы месте не проведем сечение плоскостью, всегда получатся круги одного и того же размера.
Вывод: при вертикальном сечении цилиндра плоскостью получается геометрическая фигура – прямоугольник; при горизонтальном – круг.

Морковь – конус.
Отрежем верхушку моркови, чтобы получился конус.
При вертикальном сечении моркови плоскостью, проходящей через вершину, получим треугольник. Но когда сечение пройдет не через вершину, получим параболу - фигуру ранее не всем нам известную!
При горизонтальном сечении моркови получим круг, причем, чем дальше от основания пройдет сечение, тем меньше он получится.
Вывод: при вертикальном сечении конуса плоскостью, в сечении получается треугольник или парабола; при горизонтальном – круг

Общее свойство для всех тел вращения.
Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения (горизонтальное сечение), то в сечении тела вращения получается круг.

Сыр, морковь - пирамида.
Пирамидку легче всего вырезать из сыра и моркови.
При вертикальном сечении сыра плоскостью, проходящей через вершину, в сечении получим треугольник. Далее, смещая секущую плоскость от центра к краю, так же выйдет из под ножа в сечении треугольник.
При горизонтальном сечении моркови получим в сечении геометрическую фигуру аналогичную фигуре лежащей в основании пирамиды. Чем ближе к вершине пройдет сечение, тем меньше будет размер фигуры.
Вывод: при вертикальном сечении пирамиды плоскостью, в сечении получается геометрическая фигура – треугольник; при горизонтальном – многоугольник.

Картофель - призма
Из картофеля вырежем призму.
При вертикальном сечении картофеля плоскостью проходящей и через две грани, и через два ребра в сечении получится геометрическая фигура - прямоугольник.
При горизонтальном сечении картофеля плоскостью, в сечении будет фигура, аналогичная основанию.
Вывод: при вертикальном сечении призмы плоскостью, в сечении получается геометрическая фигура – прямоугольник; при горизонтальном сечении – многоугольник.

Хлеб - куб
Вырезаем из хлеба кубик.
При вертикальном сечении хлеба плоскостью, проходящей через диагональ основания, в сечении получится квадрат. Далее смещая секущую плоскость в сторону параллельно диагонали, будет прямоугольник.
При сечении хлеба плоскостью параллельно одной из сторон куба, в сечении получим квадрат, равный стороне куба.
Вывод: при вертикальном сечении куба плоскостью, в сечении получается геометрическая фигура – квадрат и прямоугольник; при горизонтальном сечении – квадрат.

Общее свойство для всех многогранников.
Если секущая плоскость параллельна основанию геометрического тела (горизонтальное сечение), то в сечении тела получается фигура подобная фигуре лежащей в основании данного тела.

Спасибо за внимание!

Используемая литература:
Е.В.Потоскуев . Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ, Издательство- Илекса, 2014г. – 108 стр.
Л.Н. Бескин. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы. 2- издание, дополненное. Издательство - Просвещение, 1971г.
А.П.Киселев: Геометрия. Планиметрия. Стереометрия, Издательство Физматлит, 2013г. – 328 стр.
А.Л.Вернер, Стереометрия 7-9 класс, Издательство - Просвещение, 2016г.
Сечение геометрических тел плоскостью Математика. Реферативно-исследовательская работа. XII Городской конкурс реферативно-исследовательских и проектных работ учащихся 1-х – 8-х классов «Интеллектуалы XXI века» , Челябинск, 2017
Интернет ресурсы