Презентация на тему: "Презентация по алгебре "Формула корней квадратного уравнения""

ФОРМУЛА КОРНЕЙ
КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Ракипова О.Н.
учитель математики
МАОУ лицей № 110 им.Л.К.Гришиной
г. Екатеринбург

𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎

|: 𝒂≠𝟎
𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒂 =𝟎
𝒙 𝟐 +𝟐·𝒙· 𝒃 𝟐𝒂 + 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 + 𝒄 𝒂 =𝟎
𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 + 𝒄 𝒂 =𝟎
𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟒 𝒂 𝟐 =𝟎


𝒛 𝟐 − 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟒 𝒂 𝟐 =0
𝒛 𝟐 = 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟒 𝒂 𝟐
𝟒 𝒂 𝟐 >0
𝒛= 𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂

𝐷= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 – дискриминант квадратного уравнения
𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎
Дискриминант (лат) – «различитель», «определитель»
𝑧 2 = 𝐷 4 𝑎 2

1) 𝑫>𝟎
𝒛 𝟏 =− 𝑫 𝟐𝒂 ; 𝒛 𝟐 = 𝑫 𝟐𝒂
𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂 = − 𝑫 𝟐𝒂
𝒙 𝟏 = −𝒃− 𝑫 𝟐𝒂
𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂 = 𝑫 𝟐𝒂
𝒙 𝟐 = −𝒃+ 𝑫 𝟐𝒂


Итак, при D>0 квадратное уравнение
𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎 имеет два различных корня
𝒙 𝟏 = −𝒃− 𝑫 𝟐𝒂 и 𝒙 𝟐 = −𝒃+ 𝑫 𝟐𝒂

𝒙= −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 - формула корней квадратного уравнения
𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎

2) 𝑫=𝟎
𝒛 𝟐 =𝟎
𝒛=𝟎
𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂 =0
𝒙=− 𝒃 𝟐𝒂
уравнение имеет единственный корень (два одинаковых корня)
Итак, при 𝑫=𝟎 квадратное уравнение
𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎 имеет единственный корень ( или два одинаковых корня 𝒙=− 𝒃 𝟐𝒂

Можно воспользоваться и первой формулой
𝒙= −𝒃± 𝟎 𝟐𝒂 =− 𝒃 𝟐𝒂

3) 𝑫<𝟎
𝑫 𝟒 𝒂 𝟐 <𝟎
𝒛 𝟐 = 𝑫 𝟒 𝒂 𝟐 - не имеет корней
Итак, при 𝑫<𝟎 квадратное уравнение
𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎 не имеет корней.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Вычислить дискриминант квадратного уравнения.
Сравнить дискриминант с нулем.
Если дискриминант D≥0, то использовать формулу корней , если дискриминант D<0, то записать, что корней нет.

Пример 1
𝟑 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙−𝟐=𝟎
𝒂=𝟑, 𝒃=−𝟓, 𝒄=−𝟐
𝑫= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄= −𝟓 𝟐 −𝟒·𝟑· −𝟐 =𝟐𝟓+𝟐𝟒=𝟒𝟗
D>0 – уравнение имеет два различных корня
𝒙 𝟏 = −𝒃− 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟓− 𝟒𝟗 𝟔 = 𝟓−𝟕 𝟔 =− 𝟐 𝟔 =− 𝟏 𝟑
𝒙 𝟐 = −𝒃+ 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟓+ 𝟒𝟗 𝟔 = 𝟓+𝟕 𝟔 = 𝟏𝟐 𝟔 =𝟐
Ответ: 𝒙 𝟏 =− 𝟏 𝟑 ; 𝒙 𝟐 =𝟐

Пример 2
𝟒 𝒙 𝟐 −𝟏𝟐𝒙+𝟗=𝟎
𝒂=𝟒, 𝒃=−𝟏𝟐, 𝒄=𝟗
𝑫= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄= −𝟏𝟐 𝟐 −𝟒·𝟒·𝟗=𝟏𝟒𝟒−𝟏𝟒𝟒=𝟎
𝑫=𝟎 – уравнение имеет два одинаковых корня (один корень)
𝒙=− 𝒃 𝟐𝒂 = − −𝟏𝟐 𝟖 = 𝟏𝟐 𝟖 = 𝟑 𝟐 =𝟏,𝟓
Ответ: 𝒙=𝟏,𝟓

Пример 3
𝟐 𝒙 𝟐 +𝟕𝒙+𝟖=𝟎
𝒂=𝟐, 𝒃=𝟕, 𝒄=𝟖
𝑫= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄= 𝟕 𝟐 −𝟒·𝟐·𝟖=𝟒𝟗−𝟔𝟒=−𝟏𝟓
𝑫<𝟎 – уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ