Презентация на тему: "Презентация по математике на тему "Уравнения смешанных типов с ограничениями""

Задача 12. Уравнения смешанных типов с ограничениями

Показательное с тригонометрией
подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Турышева Людмила Викторовна
учитель математики
МАОУ гимназия №18
г. Нижний Тагил
2020 г.

Условие задания:
а) Реши уравнение:

𝟖𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟖𝟏 𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝟖𝟐;

б) Укажи корни уравнения, принадлежащие отрезку: 𝟒𝝅; 𝟏𝟏𝝅 𝟐 .

Решение:
а) 𝟖𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟖𝟏 𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝟖𝟐


Воспользуемся свойством степени 𝒂 𝒎−𝒏 = 𝒂 𝒎 𝒂 𝒏

81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 81 81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =82

Введем замену, не забывая про ограничения

𝑡=81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ;𝑡>0
𝑡+ 81 𝑡 =82;
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель t, t≠0.

𝑡 2 −82𝑡+81=0;
𝑡+ 81 𝑡 −82=0;
𝑡1=1, 𝑡2=81;

Решим квадратное уравнение

Решение:
𝟖𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟖𝟏 𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝟖𝟐


Вернемся к замене

81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =1, 81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =81;

𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.

𝑠𝑖𝑛 𝑥 =0, 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =1;

Воспользуемся свойством показательной функции 𝒂 𝒙 𝟏 = 𝒂 𝒙 𝟐 ↔𝒙𝟏=𝒙2

81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 81 0 , 81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 81 1 ;

Решим тригонометрическое уравнение

Решение:
б) Выберем решения уравнения с отрезка  𝟒𝝅; 𝟏𝟏𝝅 𝟐
 из неравенств:
𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.

Корни уравнения

4𝜋≤𝜋𝑘≤ 11𝜋 2 ,
4≤𝑘≤ 11 2 , 𝑘∈𝑍

𝑘=4; 𝑘=5.


𝑥1=4𝜋,
𝑥2=5𝜋.

Составим неравенство

Разделим неравенство на 𝝅

Выберем целые значения 𝑘, удовлетворяющие условию

Найдем корни, принадлежащие данному отрезку

Решение:
б) Выберем решения уравнения с отрезка  𝟒𝝅; 𝟏𝟏𝝅 𝟐
 из неравенств:
𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.

Корни уравнения

4𝜋≤ 𝜋 2 +2𝜋𝑛≤ 11𝜋 2 ,
4≤ 1 2 +2𝑛≤ 11 2 ,
4− 1 2 ≤2𝑛≤ 11 2 − 1 2 ,

7 2 ≤2𝑛≤ 10 2 ,

7 4 ≤𝑛≤ 10 4 , 𝑛∈𝑍

𝑛=2
𝑥3= 𝜋 2 +2𝜋∙2= 9𝜋 2 .
Аналогично

Ответ: а) 𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.
б)4𝜋;5𝜋; 9𝜋 2 .

Примеры
1. a) 8∙16 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 −2∙ 4 cos 2𝑥 =63; б) 7𝜋 2 ;5𝜋


а) Реши уравнение
б) Укажи корни уравнения, принадлежащие отрезку


2. a) 3 cos 𝑥 9 cos2 𝑥 = 4 2cos2 𝑥− cos 𝑥 ; б) − 3𝜋 2 ; 𝜋 6


3. a) 21 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 3 sin 𝑥 ∙ 7 −cos 𝑥 ; б) − 5𝜋 2 ;−𝜋


4. a) 1 16 cos 𝑥 +3∙ 1 4 cos 𝑥 −4=0; б) 4𝜋;7𝜋


5. a) 5 2 sin 2𝑥 = 1 25 cos 3𝜋 2 +𝑥 ; б) 3𝜋 2 ;3𝜋

Ответы
1. а) 𝑥1,2=± 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; б) 11𝜋 3 ; 13𝜋 3 ; 14𝜋 3 .
2. а) 𝑥1,2=± 𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥3= 𝜋 2 +𝜋𝑛;𝑛∈𝑍;
б)− 3𝜋 2 ;− 𝜋 2 ;− 𝜋 3 .
3. а) 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; б) − 9𝜋 4 ;− 5𝜋 4 .
4. а) 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; б) 9𝜋 2 ; 11𝜋 2 ; 13𝜋 2 .
5. а) 𝑥1,2=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥3=𝜋𝑛;𝑛∈𝑍;
б)2𝜋;3𝜋; 8𝜋 3 .