Презентация на тему: "Презентация "Алгоритм подготовки к ЕГЭ по математике""

Алгоритм подготовки к ЕГЭ по математике.

Учитель математики
МАОУ СОШ №2 п.Новоорск
Вингерт Наталья Сергеевна

Подготовительный этап :

тщательное изучение учителем демоверсии ЕГЭ (цель – понять особенности заданий, которые будут предложены учащимся в этом году);
оценка готовности учащихся к ЕГЭ, выявление проблем, типичных как для данного класса, так и индивидуально для каждого ученика;
планирование работы по развитию навыков выполнения первой части экзаменационного задания;
психологическую подготовку обучающихся к ЕГЭ, помощь в выработке индивидуального способа деятельности в процессе выполнения экзаменационных заданий.

Второй этап – организация повторения.

На этом этапе необходимо разработать план подготовки к ЕГЭ, который должен включать в себя список ключевых тем для повторения. Это позволит параллельно с изучением нового материала системно повторить пройденное ранее. В плане необходимо указать график проведения проверочных работ (в каждой из них должно быть 12 заданий на повторение).
Третий этап – организация и проведение мониторингов.
Мониторинг по математике включает в себя не только диагностические работы в формате ЕГЭ ( РОО, система СтатГрад идр.), но и регулярные срезы знаний, в разработке и проведении которых участвуют как учитель, работающий в 11 классе, так и другие учителя математики. Основная цель подобных работ – оперативное получение информации о качестве усвоения определенных тем, анализ типичных ошибок и организация индивидуальной работы с учащимися по устранению пробелов в знаниях. Учитель ведет строгий учет выполнения работы над ошибками каждой проверочной работы, оперативно доводятся до сведения родителей, что, в свою очередь, благоприятно сказывается на дальнейшем процессе обучения.

Четвертый этап – использование ИКТ при подготовке к ЕГЭ. 
Наряду с сайтом www.mioo.ru учителя математики пользуются интернет ресурсами www.uztest.ru , https://math-ege.sdamgia.ru/ которые дают возможность составлять дифференцированные домашние задания (в результате дети не могут списывать друг у друга или пользоваться решебниками), обеспечивает обратную связь между учителем и учеником через форум, позволяет следить за процессом выполнения работы и выявлять пробелы. При этом существенно экономится время учителя, т. к. компьютер проверяет работу и указывает на допущенные ошибки.
Для отработки заданий первой части мы активно используем "Открытый банк заданий по математике" на сайте www.mathege.ru.

Более сложные задания второй части требуют от учителя постоянного профессионального роста, знания теоретического материала, который отсутствует в школьном учебнике, и поиска нестандартных способов решения математических задач.

Ситуация1. Одна из функций есть в каждом слагаемом.
Ошибка: деление каждой части уравнения на эту функцию


2𝑠𝑖𝑛𝑥 cos 𝑥+ 3 𝑠𝑖𝑛𝑥=0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥
Что делать?
Делить не надо!!! Нужно все слагаемые перенести в одну сторону и вынести за скобки, то что удобно.
𝑠𝑖𝑛𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 =0

Каждый множитель приравнять к нулю.
Получиться два простых
𝑠𝑖𝑛𝑥=0 2𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 =0 𝑥=𝜋𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2

𝑥=𝜋𝑘 𝑥=± 𝜋− 𝜋 6 +𝜋𝑘 𝑥=𝜋𝑘 𝑥=± 5𝜋 6 +𝜋𝑘 𝑘𝜖𝑍

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=0
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥−1 =0

𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑐𝑜𝑠𝑥−1=0 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘 𝑥=2𝜋𝑘 𝑘𝜖𝑍

Ситуация 2: в уравнении есть синус и косинус, одна из функций возведена в квадрат.
6 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥=0
Что делать?
Нужно ту функцию, которая в квадрате заменить при мощи формулы 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥=1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 ,
6 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0
Дальше раскрыть скобки и привести подобные слагаемые
6−6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0
−6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥+4=0
6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−5𝑐𝑜𝑠𝑥−4=0
Теперь можно решить получившееся квадратное уравнение введя замену cosx=t, t ∈ −1;1

6 𝑡 2 −5𝑡−4=0
𝐷= −5 2 −4∗6∗ −4 =25+96=121, 𝐷 =11 , 2 корня
𝑡= 1 2 𝑡= 4 3 не подходит по условию cos 𝑥= 1 2

𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍

Ситуация 3: в уравнении есть синус и косинус с одинаковыми аргументами и в одинаковых степенях. Однородные уравнения
𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=0 2𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥=0
Что делать?
Нужно поделить уравнение на sinx или cosx. Преобразовать дробь в tgx или ctgx
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1=0 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 −1=0

𝑡𝑔𝑥=1 2𝑐𝑡𝑔2𝑥=1
Решить простейшие уравнения.

Ситуация 4:уравнение можно представить в виде
𝑎 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0
Однородное уравнение 2 степени.
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−5𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0
Что делать?
Поделить уравнение на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −5 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 +4=0

𝑡𝑔 2 𝑥−5𝑡𝑔𝑥+4=0
Решаем уравнение как квадратное, по свойству сумы коэффициентов получим
𝑡𝑔𝑥=1 𝑡𝑔𝑥=4 𝑥= 𝜋 4 +𝜋𝑘 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4+𝜋𝑘 𝑘𝜖𝑍

Ситуация 5: в уравнении 4 слагаемых в разных степенях.
2 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥−1=0
Что делать?
В рамках ЕГЭ такие уравнения решаются методом группировки. Сгруппируем слагаемые по парам и вынесем что можно
2 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥−1 =0
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥(2𝑠𝑖𝑛𝑥−1)+(2𝑠𝑖𝑛𝑥−1)=0
(2𝑠𝑖𝑛𝑥−1)( 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+1)=0
2𝑠𝑖𝑛𝑥−1=0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+1=0 𝑠𝑖𝑛𝑥= 1 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥=−1 решений нет 𝑥= (−1) 𝑘 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍

Входная диагностическая работа 2022.
Задание №12 : решить уравнение
𝑐𝑜𝑠2𝑥−5 2 𝑐𝑜𝑠𝑥−5=0
выбрать корни из −3𝜋;− 3𝜋 2


Что делать?
Уравнение содержит функцию разного аргумента. Нужно привести функции к одинаковому аргументу, используя формулу понижения степени 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1+𝑐𝑜𝑥2𝑥
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−1−5 2 𝑐𝑜𝑠𝑥−5=0
2 𝑐𝑜𝑠 2 −5 2 𝑐𝑜𝑠𝑥−6=0
Теперь можно решить получившееся квадратное уравнение введя замену cosx=t, t ∈ −1;1
2 𝑡 2 −5 2 𝑡−6=0

D=50+4*2*6=98 𝐷 =7 2 2 корня
𝑡=− 2 2 𝑡=3 2 −не подходит по условию

𝑐𝑜𝑠𝑥=− 2 2 𝑥=± 𝜋− 𝜋 4 +2𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍
𝑥=± 3𝜋 4 +2𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍
Теперь нужно выбрать корни из заданного промежутка −3𝜋;− 3𝜋 2
Для этого разобьем серию решений на две, и заданный отрезок покажем на числовом луче

𝑥= 3𝜋 4 +𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍 𝑥=− 3𝜋 4 +𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍

𝑥= 3𝜋 4 +𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍 𝑥=− 3𝜋 4 +𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍
𝑘=0 𝑥= 3𝜋 4 − 𝑥=− 3𝜋 4 −
𝑘=1 𝑥= 3𝜋 4 +2𝜋 − 𝑥=− 3𝜋 4 +2𝜋−
𝑘=−1 𝑥= 3𝜋 4 −2𝜋− 𝑥=− 3𝜋 4 −2𝜋=− 11𝜋 4 +
𝑘=−2 𝑥= 3𝜋 4 −4𝜋− 𝑥=− 3𝜋 4 −4𝜋−
Ответ а) ± 3𝜋 4 +2𝜋𝑘,𝑘𝜖𝑍 б)− 11𝜋 4

Входная диагностическая работа 2022.
Задание №12 : решить уравнение
2𝑐𝑜𝑠𝑥+1 −𝑠𝑖𝑛𝑥 −1 =0
выбрать корни из 0; 3𝜋 2
Что делать?
Приравнять каждый из множителей к нулю, не забыть про допустимые значения подкоренного выражения
−𝑠𝑖𝑛𝑥≥0 2𝑐𝑜𝑠𝑥+1=0 −𝑠𝑖𝑛𝑥 −1=0 𝑠𝑖𝑛𝑥≤0 𝑐𝑜𝑠𝑥=− 1 2 −𝑠𝑖𝑛𝑥=1 𝑠𝑖𝑛𝑥≤0 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑘 𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘 𝑘𝜖𝑍

Теперь сделаем отбор корней на заданном отрезке 0; 3𝜋 2




𝑥=− 2𝜋 3 +2𝜋𝑘 𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘
𝑘=0 𝑥=− 2𝜋 3 − 𝑥=− 𝜋 2 −
𝑘=1 𝑥=− 2𝜋 3 +2𝜋= 4𝜋 3 + 𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋= 3𝜋 2 +

𝑘=2 𝑥=− 2𝜋 3 +4𝜋− 𝑥=− 𝜋 2 +4𝜋 −
𝑘=−1 𝑥=− 2𝜋 3 −2𝜋− 𝑥=− 𝜋 2 −2𝜋 −
Ответ а) − 2𝜋 3 +2𝜋𝑘; − 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 б) 3𝜋 2 , 4𝜋 3

Полугодовая диагностическая работа 2022.
Задание №12 : решить уравнение
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+1=2 2 cos 3𝜋 2 −𝑥
и указать корни из 3π 2 ;3π
Что делать?
Сначала применить формулу приведения для преобразования аргумента cosx.
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+1=−2 2 sinx
Теперь перенести все в одну сторону и заменить 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 на sinx через основное тригонометрическое тождество
2−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+1+2 2 sinx=0
2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−2 2 sinx−3=0
Теперь можно решить получившееся квадратное уравнение введя замену sinx=t, t ∈ −1;1

2 𝑡 2 𝑥−2 2 t−3=0
𝐷=8−4∗2∗ −3 =8+24=32, 𝐷 =4 2
𝑡=− 2 2 𝑡= 3 2 2 − sin 𝑥=− 2 2 𝑥= (−1) 𝑘+1 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
Выберем корни из заданного отрезка


𝑘=0 𝑥=− 𝜋 4 −
𝑘=1 𝑥= 𝜋 4 +𝜋 −
𝑘=2 𝑥=− 𝜋 4 +2𝜋= 7𝜋 4 +
𝑘=3 𝑥= 𝜋 4 +3𝜋−
𝑘=−1 𝑥= 𝜋 4 −𝜋−
𝑘=−2 𝑥=− 𝜋 4 −2𝜋−

Полугодовая диагностическая работа 2022.
Задание №12 : решить уравнение
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥− 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥
и указать корни из π 2 ;2π
Что делать?
Сначала применить формулу двойного аргумента для sinx, и перенесем все в левую часть.
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠+𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=0
Применим метод группировки
(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)+(−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠−𝑠𝑖𝑛𝑥)=0
cos 𝑐𝑜𝑠𝑥+1 −𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥+1)=0
( cosx−𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥+1 =0
cosx−𝑠𝑖𝑛𝑥=0 𝑐𝑜𝑠𝑥+1=0 1−𝑡𝑔𝑥=0 𝑐𝑜𝑠𝑥=−1 𝑡𝑔𝑥=1 𝑐𝑜𝑠𝑥=−1 𝑥= 𝜋 4 +𝜋𝑘 𝑥=𝜋+2𝜋𝑘 𝑘𝜖𝑍

Теперь сделаем отбор корней на заданном отрезке 𝜋 2 ;2𝜋



𝑥= 𝜋 4 +𝜋𝑘 𝑥=𝜋+2𝜋𝑘
𝑘=0 𝑥= 𝜋 4 − 𝑥=𝜋+
𝑘=1 𝑥=𝜋+ 𝜋 4 + 𝑥=3𝜋−
𝑘=2 𝑥=2𝜋+ 𝜋 4 − 𝑥=5𝜋−
𝑘=−1 𝑥=−𝜋+ 𝜋 4 − 𝑥=−𝜋−
Ответ: а) 𝜋 4 +𝜋𝑘 ;𝜋+2𝜋𝑘 ,𝑘𝜖𝑍;б) 5𝜋 4 , 𝜋

Итоговая диагностическая работа 2022.
Задание №12 : решить уравнение
𝑠𝑖𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 −𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 +𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 =0
выбрать корни из π; 5π 2
Что делать?
Произведение двух множителей свернуть по формуле разности квадратов, применить формулы понижения степени.
𝑠𝑖𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 =0
𝑠𝑖𝑛𝑥+ 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 2 − 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 2 =0 |∗2
2𝑠𝑖𝑛𝑥+1+𝑐𝑜𝑠𝑥−1+𝑐𝑜𝑠𝑥=0
2𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥=0
𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=0 |:𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑡𝑔𝑥+1=0
𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍

Теперь сделаем отбор корней на заданном отрезке 𝜋; 5𝜋 2


𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
𝑘=0 𝑥=− 𝜋 4 −
𝑘=1 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋= 3𝜋 4 −
𝑘=2 𝑥=− 𝜋 4 +2𝜋= 7𝜋 4 +
𝑘=3 𝑥=− 𝜋 4 +3𝜋= 11𝜋 4 −
𝑘=−1 𝑥=− 𝜋 4 −𝜋 −
Ответ:а)− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;б) 7𝜋 4

Итоговая диагностическая работа 2022.
Задание №12 : решить уравнение 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 −6𝑠𝑖𝑛𝑥 =0
выбрать корни из 2π; 7π 2
Что делать?
Уравнение содержит различные функции, заменим 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 использовав основное тригонометрическое тождество
2 − 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 −6𝑠𝑖𝑛𝑥 =0
− 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥 −6𝑠𝑖𝑛𝑥 =0
Используя условие существования функции
−6𝑠𝑖𝑛𝑥=0 −6𝑠𝑖𝑛𝑥≥0 − 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑠𝑖𝑛𝑥=0 𝑠𝑖𝑛𝑥≤0 𝑐𝑜𝑠𝑥(− 2 𝑐𝑜𝑠𝑥+1)=0
𝑥=𝜋𝑘 𝑠𝑖𝑛𝑥≤0 𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑐𝑜𝑠𝑥= 2 2 𝑥=𝜋𝑘 𝑠𝑖𝑛𝑥≤0 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘 𝑥=± 𝜋 4 +2𝜋𝑘 𝑘𝜖𝑍

𝑥=𝜋𝑘 𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘 𝑥=− 𝜋 4 +2𝜋𝑘
Выберем корни из заданного отрезка
𝑘=0 0 − − 𝜋 2 − − 𝜋 4 −
𝑘=1 𝜋 − 2𝜋− 𝜋 2 − 2𝜋− 𝜋 4 −
𝑘=2 2𝜋+ 4𝜋− 𝜋 2 = 7𝜋 2 + 4𝜋− 𝜋 4 = 7𝜋 4 −
𝑘=3 3𝜋+ 6𝜋− 𝜋 2 − 6𝜋− 𝜋 4 −
𝑘=−1 −𝜋 − −2𝜋− 𝜋 2 − −2𝜋− 𝜋 4 −

Спасибо за внимание!