Презентация на тему: "Презентация по высшей математике "Матрицы и определители""

Матрицы и действия с ними

Матрица
Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

20XX
PRESENTATION TITLE
2

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы обозначают aij:
i - номер строки, j – номер столбца
В общем виде матрицу размером m×n записывают так

20XX
PRESENTATION TITLE
3

Виды матриц
квадратная
прямоугольная
матрица-строка/столбец
нулевая
треугольная
диагональная
единичная
20XX
PRESENTATION TITLE
4

Квадратная матрица
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы
20XX
PRESENTATION TITLE
5

Прямоугольная матрица
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной.




Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой, а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.


20XX
PRESENTATION TITLE
6

Нулевая матрица
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

20XX
PRESENTATION TITLE
7

Главная диагональ
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

20XX
PRESENTATION TITLE
8

Треугольная матрица
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже(выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
Верхняя треугольная матрица:

20XX
PRESENTATION TITLE
9

Диагональная матрица
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

20XX
PRESENTATION TITLE
10

Единичная матрица
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.

20XX
PRESENTATION TITLE
11

Действия над матрицами

Какие действия можно выполнять с матрицами?
равенство матриц
транспонирование
сложение
вычитание
умножение матрицы на число
умножение
нахождение обратной матрицы
20XX
PRESENTATION TITLE
13

Равенство матриц
Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij.
Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

20XX
PRESENTATION TITLE
14

Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы

Матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием .
Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

20XX
PRESENTATION TITLE
15

Найти матрицу транспонированную данной
20XX
PRESENTATION TITLE
16

Сложение(вычитание) матриц
Для того, чтобы сложить(вычесть) матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить(отнять) элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу
20XX
PRESENTATION TITLE
17

Найти сумму матриц
20XX
PRESENTATION TITLE
18
- нельзя, т.к. размеры матриц различны

Умножение матрицы на число
Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
пример
20XX
PRESENTATION TITLE
19

Умножение матриц
20
Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.
Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются так:

Проверить умножение
21

22
Матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом,
т.е. A∙B ≠ B∙A.
Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Определитель матрицы

Определитель 2 порядка
20XX
PRESENTATION TITLE
24
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называют число
Определитель второго порядка записывается так:

примеры
20XX
PRESENTATION TITLE
25

Определитель 3 порядка
20XX
PRESENTATION TITLE
26
Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число
Определитель третьего порядка записывается так:

примеры
20XX
PRESENTATION TITLE
27

Вычислите определитель
20XX
PRESENTATION TITLE
28

Правило треугольника
20XX
PRESENTATION TITLE
29
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем на схеме.

Еще один способ вычисления определителя третьего порядка, следует из правила треугольников:

20XX
PRESENTATION TITLE
30

Разложение определителя
31

Свойства определителя
32

Свойства определителя
20XX
PRESENTATION TITLE
33

Свойства определителя
20XX
PRESENTATION TITLE
34

Свойства определителя
20XX
PRESENTATION TITLE
35

Свойства определителя
20XX
PRESENTATION TITLE
36

Обратная матрица
20XX
PRESENTATION TITLE
37

38

20XX
PRESENTATION TITLE
39

20XX
PRESENTATION TITLE
40

41

Найти обратную матрицу
20XX
PRESENTATION TITLE
42

THANK YOU
20XX
PRESENTATION TITLE
43