Презентация на тему: "Презентация к уроку алгебры в 11 классе по теме "Производная показательной функции. Число е.""

Производная показательной функции. Число е

Определение производной.
Правила дифференцирования.
Производная элементарной функции.
Применения производной к исследованию функции.
Уравнение касательной.
Вопросы для повторения

Проверяем ответы :

1904.(задания типа В8 ЕГЭ) На рисунке 1 изображены график функции y= f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .
Решение:
В
А
С
Рис.1
Рис.2
Значение производной функции y= f(x) в точке х 0 равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ.
𝑡𝑔 ∠ВАС= ВС АВ
𝑡𝑔 ∠ВАС= 3 6 =0,5.
Ответ: 0,5

Число е
е = 2,7182818284590...
У= 𝟐 х
У= е х
У= 𝟑 х

Замечание (не очень серьезное). Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к  числу e не имеет, тем не менее в записи числа е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рождения Л.Н. Толстого.
Лев Николаевич Толстой
родился 28 августа (9 сентября) 1828 года в усадьбе Ясная Поляна, Тульской области
е = 2,7182818284590...

Джон Непер (1550 – 1617) – английский математик. Изобретатель логарифмов.
Леонард Эйлер (1707 -1783) –крупнейший математик XVIII столетия. Научное наследие Эйлера включает современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций, и их символики.
Функцию е х часто называют экспонентой. Число e иногда называют «неперовым» в честь шотландского учёного Непера, однако необоснованно, так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление. Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер. Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав представление числа е в виде бесконечного числового ряда:

Теорема 1.Функция е х дифференцируема в каждой точке области определения, и ( е х )′ = е х .
Доказательство. Найдем сначала приращение функции у = е х в точке х 0 :
∆у= е х 0+∆х - е х 0 = е х 0 ∙ е ∆х − е х 0 = е х 0 ( е ∆х -1).
∆у ∆х = е х 0 ( е ∆х −1) ∆х = е х 0 ∙ ( е ∆х −1) ∆х → е х 0 при ∆х→0 .
По определению производной отсюда следует, что у’= е х , т.е.
( е х )′ = е х при любом х.

Определение. Натуральным логарифмом (обозначается ln)называется логарифм по основанию е: ln 𝑥= 𝑙𝑜𝑔 𝑒 𝑥.
Теорема 2. Показательная функция 𝑎 𝑥 дифференцируема в каждой точке области определения, и ( 𝑎 𝑥 )’= 𝑎 𝑥 ln 𝑎.
Доказательство. По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа 𝑒 ln 𝑎 =𝑎,поэтому 𝑎 𝑥 = ( 𝑒 ln 𝑎 ) 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎 . По теореме о производной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и ( 𝑎 𝑥 )′=( 𝑒 𝑥 ln 𝑎 )′= 𝑒 𝑥 ln 𝑎 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎.