Презентация на тему: "Презентация 9 класс Треугольники"

Задачи по теме «Треугольники»
Углы
Средняя линия
Медиана
Площадь
Применение теоремы Пифагора
Нахождение
SinА, cosА

Автор: Достовалова Анастасия Андреевна
ГБОУ СОШ №50 Петроградского р-на

Задача 1
Решение
В треугольнике два угла равны 54° и 58°.
Найдите его третий угол.
Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна 180°
Следовательно: 180°-54°-58°=68°

Ответ: 68°

58
54
?
Углы

Задача 2
Углы
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°.
Найдите его другой острый угол.
Ответ дайте в градусах
Решение
Вариант 1:
Сумма углов в треугольнике равна 180°
Искомый угол равен 180°-90°-23°=67°

Ответ: 67°
90°
Вариант 2:
По теореме о сумме острых углов в
прямоугольном треугольнике
90°-23°=67°

Ответ: 67°

Задача 3
Решение
Углы
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC.
Ответ дайте в градусах.
Вариант 1:
Углы ACB и BAC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника;
Пусть один из них равен x.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x.
Угол ACB смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°.
x = 57°, откуда ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°
Ответ: 66°
А
В
С
123°
Вариант 2:
∠ ACB смежный с углом 123° , следовательно
∠ ACB=180°-123°=57°
треугольник ABC-равнобедренный из чего следует,
что ∠A=∠C=57°
Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно
∠B=180°-57°-57°=66°
Ответ: 66°

Углы
Задача 4
Решение
В треугольнике АВС угол А равен 7°, а угол В равен 5°.
Найдите внешний угол при вершине С

А
В
С
7°
5°
?
Вариант 1:
Найдем внутренний угол С в треугольнике АВС
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠АСВ = 180°−5°−7°=168°
Угол ACB смежен с внешним углом С
и равен 180°−168°=12°

Ответ: 12°
Вариант 2:
По теореме о внешнем угле треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов
треугольника, не смежных с этим внешним углом
из этого следует ,что внешний ∠C=∠А+∠В, то есть ∠С=7°+5°=12°

Ответ: 12°

Углы
Задача 4
Решение
В треугольнике АВС угол А равен 7°, а угол В равен 5°.
Найдите внешний угол при вершине С

Вариант 1:
Найдем внутренний угол С в треугольнике АВС
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠АСВ = 180°−5°−7°=168°
Угол ACB смежен с внешним углом С
и равен 180°−168°=12°

Ответ: 12°
Вариант 2:
По теореме о внешнем угле треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов
треугольника, не смежных с этим внешним углом
из этого следует ,что внешний ∠C=∠А+∠В, то есть ∠С=7°+5°=12°

Ответ: 12°
А
В
С
7°
5°
?

Решение
Задача
Средняя линия
Точка M и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС, сторона АС равна 62.
Найдите MN
А
В
С
М
N
Так как точки M и N являются серединами сторон по условию, то отрезок МN- это средняя линия треугольника
из этого следует, что:

по свойству средней линии
MN=AC:2
MN=62:2=31

Ответ:31


А

Решение
Задача
Средняя линия
Точка M и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС, сторона АС равна 62.
Найдите MN
А
В
С
М
N
Так как точки M и N являются серединами сторон по условию, то отрезок МN- это средняя линия треугольника
из этого следует, что:

по свойству средней линии
MN=AC:2
MN=62:2=31

Ответ:31


А

Медиана
Задача
Решение
В треугольнике АВС известно, что АС=58,
ВМ- медиана, ВМ=37.
Найдите АМ
А
С
В
М
?
Рассмотрим Δ АВС: известно, что ВМ - медиана,
а по определению медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Отсюда следует, что


АМ = МС = АС:2
АМ =58 :2 = 29

Ответ: 29

Медиана
Задача
Решение
В треугольнике АВС известно, что АС=58,
ВМ- медиана, ВМ=37.
Найдите АМ
А
С
В
М
?
Рассмотрим Δ АВС: известно, что ВМ - медиана,
а по определению медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Отсюда следует, что


АМ = МС = АС:2
АМ =58 :2 = 29

Ответ: 29

Задача 1
Решение
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведенная к этой стороне, равна 23.
Найдите площадь треугольника
14
23
Площадь

Задача 1
Решение
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведенная к этой стороне, равна 23.
Найдите площадь треугольника
14
23
Площадь треугольника находится по формуле:
S= 𝟏 𝟐 𝒂 𝒉 𝒉

отсюда следует, что:
S= 1 2 *14*23=161


Ответ:161
Площадь

Площадь
Задача 2
Решение
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=2, DC=13. Площадь треугольника АВС равна 75.
Найдите площадь треугольника ABD.
А
В
С
D
Н

Площадь
Задача 2
Решение
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=2, DC=13. Площадь треугольника АВС равна 75.
Найдите площадь треугольника ABD.
А
В
С
D
Проведем высоту из вершины B
Заметим, что это высота не только треугольника ABC, но и треугольника ABD.
Найдем высоту, используя формулу площади треугольника для треугольника ABC:
S= 𝟏 𝟐 AC*h = 𝟏 𝟐 (AD+DC)*ВН

75= 𝟏 𝟐 (2+13)*ВН
75=15*ВН/2
75*2=15ВН
150=15ВН
ВН=10
Теперь применим эту же формулу для треугольника ABD: S=AD*ВН/2=2*10/2=10
Ответ: 10
Н

Задача 1
Решение
Применение Теоремы Пифагора
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15.
Найдите гипотенузу этого треугольника
8
15
90°

Задача 1
Решение
Применение Теоремы Пифагора
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15.
Найдите гипотенузу этого треугольника
8
15
90°
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = с 𝟐

Исходя из этого мы можем получить расчет:



𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 8 2 + 15 2 =64+225=289

𝑐 2 =289
Так как «с» длинна
c=17

Ответ: 17

Применение Теоремы Пифагора
Задача 2
Решение
В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56.
Найдите длину медианы BM.
А
В
С
М

Применение Теоремы Пифагора
Задача 2
Решение
В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56.
Найдите длину медианы BM.
Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому медиана ВМ, проведённая к основанию, является высотой.

Т.к ВМ медиана, то АМ=МС=56:2=28

Из прямоугольного треугольника ABM по теореме Пифагора найдём BM
ВМ 2 + АМ 2 = АВ 2
ВМ 2 + 28 2 = 53 2
ВМ 2 = 53 2 - 28 2 =2809-784=2025

Следовательно:
ВМ=45
Ответ: 45
А
В
С
М

Нахождение sinА, cosА
Задача
Решение

Нахождение sinА, cosА
Задача
Решение
Косинус острого угла А
треугольника АВС равен 19 10



Найдите sinA

Нахождение sinА, cosА
Задача
Решение
Косинус острого угла А
треугольника АВС равен 19 10



Найдите sinA
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
(sinA) 2 +( cosA) 2 =1
из этого следует, что: (sinA) 2 =1-( cosA) 2
далее: (sinA) 2 =1- 19 100 = 81 100 ;

из того, что угол А острый следует, что: sinA= 9 10 =0,9

Ответ: 0,9