Презентация на тему: "Презентация "Решение геометрических задач с помощью комплексных чисел"""

Решение геометрических
задач с помощью комплексных чисел
Доклад подготовила: Сазанова Наталья, гр. ТБ-18
Научный руководитель: Хабаева Елена Владимировна

1

Цель:
изучить возможность применения комплексных чисел для решения задач геометрии

Задачи:
1) ознакомиться с историей развития понятия комплексного числа;
2) изучить геометрию треугольника в комплексных числах;
3) рассмотреть примеры применения комплексных чисел к решению геометрических задач.

2

3

Н. Е. Жуковский
(1847 – 1921)
4

Джероламо
Кардано
(1501 – 1576)
«Великое искусство,
или об алгебраических правилах»
5

Рафаэль Бомбелли
(1526 – 1572)
6

Рене Декарт (1596 – 1650)
7

Леонард Эйлер
(1707 – 1783)
8

Карл Фридрих Гаусс
(1777 – 1855)
9

Джон Валлис
(1616 - 1703)
«Алгебра»
10

Огюстен Луи Коши
(1789 – 1857)
11

Определение:
Комплексное число – это число вида z=x+iy, где x-действительная часть,
у-мнимая часть комплексного числа

x- действительная
ось
y
мнимая ось
0
х
y
z=x+iy
12

Задача №1
На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC=6, AC=4.
D
A
B
C
E
13

Дано:
Треугольник ABC.
AD-медиана.
AE=4, BC=6, AC=4.
Найти:


D
A
B
C
E
14

3. Точки А, Е и D коллинеарны,

тогда
1. Т.к. точка D- середина СВ, то СD=3. СА=4, тогда по теореме Пифагора AD=5, а следовательно, DE=1.






.
,
т.е.
2. Введем комплексную плоскость:
С – начало координат;
СВ – мнимая ось.

С
А
В
D
Е
С(0)
СА – действительная ось;
А(4)
В(6i)
x
yi
D(3i)
Е(e)
I случай – точка Е лежит между D и А
Решение
15

4. Если в комплексной плоскости вершины треугольника АВС заданы в виде А(а),В(b),С(с), то площадь треугольника вычисляется по формуле:

Тогда,
16

3. Точки А, Е и D коллинеарны,

тогда
1. Т.к. точка D- середина СВ, то СD=3.СА=4, тогда AD=5, следовательно, АE=4.






.
,
т.е.
2. Введем комплексную плоскость:
С – начало координат;
СВ – мнимая ось.

С
А
В
D
Е
С(0)
СА – действительная ось;
А(4)
В(6i)
x
yi
D(3i)
Е(e)
II случай – точка А лежит между точками D и Е
17

, тогда,
Ответ:
;
4. Если в комплексной плоскости вершины треугольника АВС заданы в виде А(а),В(b),С(с), то площадь треугольника вычисляется по формуле:

18

Задача №2
Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек А, М, В на расстояние 20,14,15 соответственно. Найдите площадь треугольника СВМ.

B
A
С
 
М
19

Дано:
Треугольник ABC.
АВ - диаметр окружности
AС=20, BC=15, МC=14.
Найти:

B
A
С
 
М
20

А
В(15)
С
М
1. Введем комплексную плоскость, где:


т. С – начало координата;

С(0)
СВ – действительная ось;

х
СА – мнимая ось;


yi
А(20i)
В
М(z)
Точки А и В фиксируем, а точку М будем считать переменной. Обозначим ее координату через z.
Решение
21

2. Если в комплексной плоскости точки заданы в виде А(а), В(b), М(z), то уравнение прямой АВ составляется по формуле:

Тогда уравнение прямой АВ будет иметь вид:
Заменив
,получим:
22

3. Формула площади треугольника имеет вид:
Подставим координаты вершин треугольника A(20i), B(15),

M( )
Тогда
Ответ:
кв.ед.
23

Вывод

Комплексные числа успешно используются в различных областях науки, в том числе алгебра комплексных чисел представляет собой ещё один из методов решения планиметрических задач.
Для решения задачи стандартным способом необходимо иметь ряд догадок, которые могут появиться не сразу, а после достаточно длительных рассуждений. При решении же задачи методом комплексных чисел мы экономим время на поиске, но необходимо знание формул из геометрии треугольника в комплексных числах.
24

Список использованных источников
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 52 с.
Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов – М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии – М.: Физматгиз, 1963. – 192 с.
25