Презентация на тему: "Презентация к уроку алгебры "Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое – второй степени." (9 класс)"

Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое – второй степени.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42
Рыбина М.В.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:
1) из более простого уравнения системы выразить одно неизвестное через другое;
2) подставить полученное выражение в другое уравнение вместо выраженной переменной;
3) найти корень полученного  уравнения с одним неизвестным;
4) подставить найденное значение в уравнение, полученное на первом шаге, и найти вторую переменную;
5) записать ответ.

Задание 1
х+у=3, ху=10; у=3−х, х ∙ 3−х =−10;
3х – х2 = – 10
– х2 + 3х + 10 = 0
х2 – 3х – 10 = 0
х1 = 5 х2= – 2
у1 = 3 – 5 = – 2 у2 = 3 – (– 2) = 5
Ответ: (5; – 2) (– 2; 5)

Задание 2
х 2 + у 2 =9, х+2у=3; х=3−2у, 3−2у 2 + у 2 =9;
9 – 12у + 4у2 + у2 = 9
5у2 – 12у = 0
у(5у – 12) = 0
у1 = 0у2 = 2,4
х1=3 – 2  0 = 3
х2 = 3 – 2  2,4 = 3 – 4,8 = – 1,8
Ответ: (3; 0); (– 1,8; 2,4)

Задание 3
4х−у=6, 4 х 2 + у 2 =8; у=4х−6, 4 х 2 + 4х−6 2 =8.
4х2 + 16х2 – 48х + 36 – 8 = 0
20х2 – 48х + 28 = 0
5х2 – 12х + 7 = 0
Д = (– 12)2 – 4  5  7 = 144 – 140 = 4, Д = 2
х1 = 12+2 10 = 1,4 х2 = 12−2 10 = 1
у1 = 4  1,4 – 6 = – 0,4; у2 = 4  1 – 6 = – 2.
Ответ: (1,4; – 0,4), (1; – 2).

Задание 4
3х−у=4, х 2 −2ху=3; у=3х−4, х 2 −2х(3х−4)=3.
х2 – 6х2 + 8х – 3 = 0
– 5х2 + 8х – 3 = 0
Д = 82 – 4  (– 5)  (– 3) = 64 – 60 = 4, Д = 2
х1 = −8+2 −10 = 0,6 х2 = −8−2 −10 = 1
у1 = 3  0,6 – 4 = – 2,2; у2 = 3  1 – 4 = – 1.
Ответ: (0,6; - 2,2), (1; – 1).

Задание 5
х 2 +ху=8, 2х+у=6; х 2 +х 6−2х =8, у=6−2х.
х2 + 6х – 2х2 – 8 = 0
– х2 + 6х – 8 = 0
х2 – 6х + 8 = 0
х1 = 4 х2 = 2
у1 = 6 – 2  4 = – 2; у2 = 6 – 2  2 = 2.
Ответ: (4; – 2), (2; 2).

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения
выбрать неизвестную, которую планируете исключить;
 если коэффициенты при выбранной неизвестной не являются равными или противоположными числами, то умножить левую и правую части одного или обоих уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при выбранной неизвестной стали равными или противоположными;
 если коэффициенты при выбранной неизвестной равны, то выполнить вычитание уравнений системы, если коэффициенты при выбранной неизвестной — противоположные числа, то выполнить сложение уравнений системы;
 привести подобные слагаемые, должно получиться линейное уравнение относительно другой неизвестной, решить уравнение;
 подставить найденное значение вместо неизвестной в любое из исходных уравнений системы, найти значение другой неизвестной;
 записать ответ.

Задание 6
х 2 − у 2 =1, х 2 + у 2 =25; +
2х2 = 26 у2 = 25 – х2
х2 = 13 у2 = 25 – 13
х =  13 у2 = 12
у =  12
Ответ: 13 ; 12 ; 13 ; − 12 ; − 13 ; − 12 ; − 13 ; 12 .

Задание 7
𝑥 2 −2 𝑦 2 =14, 𝑥 2 +2 𝑦 2 =18; +
2 𝑥 2 =32, 𝑥 2 =16, 𝑥 1 =−4, 𝑥 2 =4
Если 𝑥 1 =−4, то 16 – 2 𝑦 2 =14, 2 𝑦 2 =2, 𝑦 2 =1,
y1 = -1, y2 = 1
Если 𝑥 2 =4, то 16 – 2 𝑦 2 =14, 2 𝑦 2 =2, 𝑦 2 =1,
y1 = -1, y2 = 1

Ответ: (-4;-1), (-4;1), (4;-1), (4;1)
 

Задание 8
𝑥 2 − 𝑦 2 =14, 𝑥+𝑦=7; (𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)=14, 𝑥+𝑦=7;
Подставим в первое уравнение вместо 𝑥+𝑦 число 7.
Тогда получим систему уравнений: (𝑥−𝑦)7=14, 𝑥+𝑦=7;
𝑥−𝑦=2, 𝑥+𝑦=7; +
2x = 9, x = 4,5
4,5 – y = 2, y = 2,5
Ответ: (4,5;2,5)

Задание 9
  𝑥−𝑦=5, 1 𝑥 + 1 𝑦 = 1 6 .
Выразим x из первого уравнения системы:
x = 5 + y.
Выполним подстановку x во второе уравнение системы.
1 5+𝑦 + 1 𝑦 = 1 6 ,
Домножим обе части уравнения на 6y(5+y), где y0, y-5. Получим 6y +6(5+y) = y(5+y).
6y + 30 + 6y = 5y + y2,
y2 – 7y – 30 = 0,
y1 = 10, y2 = -3.
x1 = 5 + 10 = 15,
x2 = 5+ (-3) = 2.
Ответ: (15; 10), (2; - 3)

Задание 10*
х у + у х = 5 2 , х 2 + у 2 =20; Пусть х у = t, 𝑦 𝑥 = 1 𝑡 , t + 1 𝑡 = 2,5
t2 – 2,5t + 1= 0 t  0
t1 = 0,5 t2 = 2
х у =0,5 х 2 + у 2 =20 𝑥=0,5𝑦 0,5𝑦 2 + 𝑦 2 =20
0,25y2 + y2 = 20
1,25y2 = 20
y2 = 16
y1 = 4 y2 = – 4
x1 = 2 x2 = – 2

Задание 10* (продолжение)
х у =2 х 2 + у 2 =20 𝑥=2𝑦 2𝑦 2 + 𝑦 2 =20
4y2 + y2 = 20
5y2 = 20
y2 = 4
y3 = 2 y4 = – 2
x3 = 4 x4 = – 4
Ответ: (2; 4); (– 2; – 4); (4; 2); (– 4; – 2).

Домашнее задание:
Читать § 7, п. 19 стр. 117
Выполнить № 429 (а), 431 (а, в, г)

Использованные источники
https://resh.edu.ru/subject/lesson/1999/main/
https://krasavtsev.blogspot.com/2016/10/4algebray28.html
https://www.evkova.org/reshenie-uravnenij-vyisshih-stepenej
https://studme.org/288070/matematika_himiya_fizik/sistemy_uravneniy_dvumya_peremennymi_kotoryh_odno_uravneniya_vtoroy_stepeni