Презентация на тему: "Синус, косинус, тангенс угла"

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла.
9 класс

Повторим!
sin 𝐴 = 𝑎 𝑐

cos 𝐴 = 𝑏 𝑐

𝑡𝑔𝐴= 𝑎 𝑏
А
В
с
С
b
a

Задача 1.
Найдите тангенс угла B треугольника ABC, изображённого на рисунке.
Решение:
𝒕𝒈 𝑩= 𝑨𝑪 𝑩𝑪
𝒕𝒈 𝑩= 𝟕 𝟐
=𝟑,𝟓
Ответ. 3,5

Задача 2.
В треугольнике АВС угол А равен 90˚. Найти АВ, если известно, что ВС = 12 см, а sin А =0,8
А
В
С
Решение:
sin А = ВС АВ
12
?
0,8= 12 АВ
8 10 = 12 АВ
АВ= 12∙10 8 = 15(см)
Ответ. АВ = 12 см

Новый материал!

Определение Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
M (x; y)
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
O
x
y
D
h

M (x; y)
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
0
x
y
D
h
sin  =
∆OMD - прямоугольный
MD = y
OM = 1
sin  = y
Синус угла – ордината у точки М
cos  =
OD = x
OM = 1
cos  = x
Косинус угла – абсцисса х точки М
Синус, косинус, тангенс угла
tg  =
MD = y = sin 
OD = x = cos 

M (x; y)
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
0
x
y
D
h
Значения синуса, косинуса
Так как координаты (х; у) заключены в промежутках
0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1,
то для любого  из промежутка
0 ≤  ≤ 180
справедливы неравенства:
0 ≤ sin  ≤ 1,
- 1≤ cos  ≤ 1

M (x; y)
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
0
x
y
D
h
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 00, 900 и 1800
Так как точки А, С и B имеют координаты
А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

M (x; y)
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
0
x
y
D
h
Основное тригонометрическое тождество
х2 + у2 = 1 - уравнение окружности
sin  = y,
cos  = x
sin2α + cos2α = 1
для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180

Формулы приведения
при 0 ≤  ≤ 90
sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin 
sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos 
при 0 ≤  ≤ 180

Формулы приведения
при 0 ≤  ≤ 90
sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin 
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
0
D
h
sin 90°+𝛼 = − cos 𝜶
cos 90°+ 𝛼 = sin 𝜶

Формулы приведения
sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos 
при 0 ≤  ≤ 180
C (0; 1)
B (-1; 0)
A(1; 0)
x
y
0
D

Задача 3.
Принадлежат ли единичной окружности точки: М(-1;0), Р 2 2 ; 5 2 , К − 3 2 ; 1 2 ?
Решение:





х2 + у2 = 1 - уравнение окружности
М(-1;0):
Р 2 2 ; 5 2 :
К − 3 2 ; 1 2 :
(-1)2 + 02 = 1
1 + 0 = 1
1 = 1
М принадлежит окружности.
2 2 2 + 5 2 2 = 1
2 4 + 5 4 = 1
7 4 ≠ 1
Р не принадлежит окружности.

Задача 4.
sin 𝛼 = 1 4 . Найдите cos 𝛼 , 𝑡𝑔 𝛼, 𝑐𝑡𝑔 𝛼.
Решение:




sin2α + cos2α = 1
𝒄𝒕𝒈 𝜶= cos 𝜶 sin 𝜶
cos2α = 1 - sin2α

cosα = 1 − sin2α
cosα = 1 − 1 4 2
= 1 − 1 16
= 15 16
= 15 4

Задача 4.
sin 𝛼 = 1 4 . Найдите cos 𝛼 , 𝑡𝑔 𝛼, 𝑐𝑡𝑔 𝛼.
Решение:




sin2α + cos2α = 1
𝒄𝒕𝒈 𝜶= cos 𝜶 sin 𝜶


𝒕𝒈 𝜶= 𝟏 𝟒 : 𝟏𝟓 𝟒
= 𝟏 𝟒 ∙ 𝟒 𝟏𝟓
= 𝟏 𝟏𝟓
= 𝟏∙ 𝟏𝟓 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟓
= 𝟏𝟓 𝟏𝟓
𝒄𝒕𝒈 𝜶= 𝟏𝟓 𝟒 : 𝟏 𝟒
= 𝟏𝟓 𝟒 ∙ 𝟒 𝟏
= 𝟏𝟓 𝟏
= 𝟏𝟓

Вспомним значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.
90°
30°
x
y
0
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 𝟐
45°
60°
1

Задача 5.
Вычислить синус, косинус и тангенс угла 120°.
Решение:






sin 120° = sin 180°−60° =
sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos 
= sin 60° =
𝟑 𝟐
cos 120° = cos 180° −60° =− cos 60°=
− 𝟏 𝟐
tg 120°= sin 120° cos 120° = sin 60° cos 60° = 3 2 : 1 2 = 3 2 ∙ 2 1 =
𝟑

Вычисление координат точки
x= 𝑶𝑨∙ cos 𝜶
1
М(cos α; sin α)
x
y
0
A
cos α
sin α
𝒚= 𝑶𝑨∙ sin 𝜶

Задача 6.
Найти координаты точки А, если отрезок ОА = 3, а угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен 60°.
Решение:






x
y
0
A
α = 60°
x= 𝑶𝑨∙ cos 𝜶
𝒚= 𝑶𝑨∙ sin 𝜶
Находим координату х точки А:
x=𝟑∙ cos 60°=3∙ 3 2 = 𝟑 𝟑 𝟐
Находим координату у точки А:
𝒚=𝟑∙ sin 60°=3∙ 1 2 = 3 2 =1,5
А 𝟑 𝟑 𝟐 ;𝟏,𝟓