Презентация на тему: "Урок- презентация :Усеченная пирамида"

«Усеченная пирамида ».

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете.
Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь)- считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.

Определения.
Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.
Аn
A1
A2
A3
P

Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды.
Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами.
Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
РН- высота
(не лежит во внутренней области пирамиды).
РН - высота
Р
Н
А
В
С
Е
М

Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды.
SАВСD – правильная пирамида.
АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).
SО – высота.
С
О
В
А
D
S

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
А
В
С
Н
S
SH- апофема

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β||α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B1,B2,…,Bn. Плоскость β разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого являются n–угольники A1A2…An и B1B2…Bn(нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn(боковые грани), называется усеченной пирамидой.

А1
А
В
В1
С
С1
D
D1
Еще одно определение усеченной пирамиды.
Тело, получающееся из пирамиды, если отсечь ее вершину плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой.

Теорема (свойство усеченной пирамиды):
«Боковые грани усеченной
пирамиды – трапеции».
Дано: АВСА1В1С1 – усеченная пирамида, полученная сечением пирамиды SАВС плоскостью (А1В1С1) || (АВС).
Доказать: четырехугольники АА1С1С, АА1В1В и ВВ1С1С – трапеции.
S
B
B1
А
А1
С1
С

Определения.
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
D1
А
С
В
D
С1
В1
А1
Sбок. = SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D


Р
А
В
С
М
К
Н
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.

Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.
(МНК) || ;
АСНМ,АМКВ,ВСНК – равнобедренные трапеции, т.е. АМ=КВ=НС

Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами.
АВСDА1В1С1D1 – правильная усеченная пирамида;
АВСD и А1В1С1D1 – квадраты;
А1Н, В1М, D1К – апофемы.
А
А1
В
В1
С1
С
D
D1
Н
М
К

Теорема:
«Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему».
Sбок. пр. пир. =½∙(Росн1+Росн2 ) ∙d

Теорема.
Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле

S
S1
h
x
Дано: усеченная пирамида, полученная из обычной пирамиды путем отсечения от нее меньшей пирамиды Доказать:
Но (по теореме об отношении площадей подобных треугольников)
=>
◦
●

Задача №1.
Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде усеченной пирамиды, если глубина ямы 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м, а верхнего – 1,2м?

1)SABCD = AB 2
SABCD = 0,8 2 = 0,64 (м2)

2)SA1B1C1D1 = A1B12
SA1B1C1D1 = 1,22 = 1,44 (м2)
Дано: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида, h=1,5м, ABCD и A1B1C1D1 – квадраты, АВ=0,8м, А1В1=1,2м Найти: Vус. пир.
А
В
С
D
О
О1
А1
D1
C1
В1

4)1,52 м³= 1520 л
Ответ: 1520 л
,
А
В
С
D
О
О1
А1
D1
C1
В1