Школьные учебники / Презентации по предметам » Презентации » Другие презентации » Презентация "Производная. Применение производной для решения задач»

Презентация на тему: "Презентация "Производная. Применение производной для решения задач»"

Презентация "Производная. Применение производной для решения задач» - Скачать презентации бесплатно ☑ Презентации по предметам на school-textbook.com
Смотреть онлайн
Поделиться с друзьями:
Cкачать презентацию: Презентация "Производная. Применение производной для решения задач»

Презентация "Презентация "Производная. Применение производной для решения задач»" онлайн бесплатно или скачать на сайте электронных школьных учебников/презентаций school-textbook.com

Производная. <br>Применение производной к решению задач<br>Туманова Ирина Павловна, <br>ЧОУ «Правосл
1 слайд

Производная.
Применение производной к решению задач
Туманова Ирина Павловна,
ЧОУ «Православная классическая гимназия им. сщмнч. Константина Богородского»,
учитель математики, высшая категория

Теоретический материал<br>
2 слайд

Теоретический материал

3 слайд

Определение производной<br>
4 слайд

Определение производной

Правила дифференцирования<br>
5 слайд

Правила дифференцирования

Геометрический смысл производной<br>
6 слайд

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной<br>
7 слайд

Физический смысл производной

Производные основных элементарных функций<br>
8 слайд

Производные основных элементарных функций

9 слайд

Возрастание и убывание функции <br>Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на как
10 слайд

Возрастание и убывание функции
Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции – это одна из основных задач исследования функции.

Теоремы<br>
11 слайд

Теоремы

Наименьшее и наибольшее значение функции<br>Точку х = х0 называют точкой минимума функции        у =
12 слайд

Наименьшее и наибольшее значение функции
Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х = х0) выполняется неравенство: f(x) > f(x0).
Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х0, выполняется неравенство: f(x) < f(x0).
Такие точки называют точками экстремума функции.

Теоремы<br>Теорема 1. Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производ
13 слайд

Теоремы
Теорема 1. Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Стационарные точки — это точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю.

Критические точки — это точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не существует.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет
14 слайд

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0.
Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х0 выполняется неравенство f ´(х) < 0, а при х>х0 — неравенство f ´(x)>0, то х = х0 — точка минимума функции y=f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х0 выполняется неравенство f ´(х)>0,а при х>х0 — неравенство f ´(x)<0, то х = х0 — точка максимума функции y=f(х);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х = х0 экстремума нет.

15 слайд

16 слайд

Практический материал<br>
17 слайд

Практический материал

№ 1. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной  функции  f(x), определенной на интервале
18 слайд

№ 1. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:
Заметим, что на отрезке [–8; –4]
производная функции
отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит,
наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом
конце отрезка, то есть в точке –4.
Ответ: –4.

у = f ′(x)
f(x)

№ 2. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции  f(x), определенной на интервале (
19 слайд

№ 2. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует.
Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+».
Ответ: 3.
+


+

у = f ′(x)

Решение: <br>Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке <br>хо = 4 обращается в 0 и при п
20 слайд

Решение:
Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке
хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.
№ 3. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).
.
Ответ: 4.

+
у = f ′(x)

№ 4. На рисунке изображен график  у = f ′(x) – производной функции  f(x), определенной на интервале
21 слайд

№ 4. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.
Ответ: 4.
Решение:
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции
f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4.
у = f ′(x)
у = –2

№ 5. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите кол
22 слайд

№ 5. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ: 6.
Решение:
Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
Таких точек 6:
х = −4, х = −3, х = −2,
х = −1, х = 0, х = 3.
–2
–1
–3
–4
0
3
у = f(x)
–6
5
у
х

0<br>у = f(x) <br>–6<br>6<br>у<br>х<br>2<br>4<br>6<br>3<br>5<br>1<br>№ 6. На рисунке изображен графи
23 слайд

0
у = f(x)
–6
6
у
х
2
4
6
3
5
1
№ 6. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.
Ответ: 6.
Решение:
Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это точки экстремума.
Таких точек 6.
у = –5
–5

№ 7. На рисунке изображен график  у = f(x) – производной функции  f(x), определенной на интервале (–
24 слайд

№ 7. На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
Ответ: 1,25.
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке.
В нашем случае k > 0, так как
α – острый угол (tg α > 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25
у = f(x)
4
А
В
С
5
хо
α
α

180°− α<br>№ 8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и
25 слайд

180°− α
№ 8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
Ответ: −0,75.
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке.
В нашем случае k < 0, так как
α – тупой угол (tg α < 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75
tg α = − tg (180°− α) = −0,75
8
А
В
С
6
хо
α
у = f(x)

.<br><br>№ 9. На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции  f(x), определенной на инт
26 слайд

.

№ 9. На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
у
х
у = f ′(x)
0
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек
принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.
В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.

+

+

+
х1
х2
х3
х4
х5
max
max
Ответ: 2.
f(x)
–10
10

№ 10. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму
27 слайд

№ 10. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение:
Точки экстремума – это точки минимума и максимума.
Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять.
Найдем сумму их абсцисс:
-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = -6.
Ответ: -6.
у = f ′(x)



№ 11. На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции  f(x), определенной на интервале
28 слайд

№ 11. На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
у = f ′(x)
+
+
Решение:
Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.
Таких точек 7:
х = −3, х = −2, х = 3,
х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.
Их сумма:
−3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20







7
5
3
-3
Ответ: 20.

№ 12. Прямая  у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции  у = х2 + 8х + 6. Найдите абсцис
29 слайд

№ 12. Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х + 6. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо:
k = f ′(xo) = 4
Производная функции
f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4,
откуда хо = – 2.
Ответ: – 2.

№ 13. Прямая  у = 3х + 11 является касательной к графику функции  у = x3 − 3x2 − 6x + 6. Найдите абс
30 слайд

№ 13. Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x3 − 3x2 − 6x + 6. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3.
Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая
у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.
Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8,
а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11.
Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1.
Ответ: −1.

№ 14. Прямая  у = 4х – 4 является касательной к графику функции  ах2 + 34х + 11. Найдите а.<br>Решен
31 слайд

№ 14. Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите а.
Решение:
Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15.
Найдем значение исходной функции в точке касания:
ахo2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11.
Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:
19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1.
А значит a = 15.
Ответ: 15.

№ 15. Прямая  у = – 4х – 5 является касательной к графику функции  9х2 + bх + 20. Найдите b, учитыва
32 слайд

№ 15. Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение.
Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = – 4 – 18хо.
Найдем хо:
9xo2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5,
9xo2 – 4xo – 18хо2 + 20 + 4хo + 5 = 0,
– 9xo2 + 25 = 0,
хо2 = 25/9.
Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3.
Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3, имеем b = –34.
Ответ: –34.

№ 16. Прямая  у = 2х – 6 является касательной к графику функции  х2 + 12х + с. Найдите с.<br>Решение
33 слайд

№ 16. Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику функции х2 + 12х + с. Найдите с.
Решение.
Обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной.
2хо + 12 = 2, откуда xo = –5.
Значение исходной функции в точке –5 равно:
25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2 ∙ (–5) – 6,
откуда с = 19.
Ответ: 19.

34 слайд

35 слайд

Благодарю за внимание!<br>
36 слайд

Благодарю за внимание!

Отзывы по презентациям на сайте school-textbook.com "Презентация "Производная. Применение производной для решения задач»" (0)
Оставить отзыв
Прокомментировать

Путеводитель по миру знаний. Тем, кто хочет учиться.

Свяжитесь с нами